jueves, 28 de junio de 2018

Matemáticas en 1 minuto (M1M) Temporada 2

Por fin, Temporada 2: 

  • Capítulo 11 (5 de Julio 2018): La dimensión de Hausdorff: En 1 minuto introducimos la genial idea que tuvo Hausdorff para definir lo que a día de hoy se conoce como dimensión fractal.

  • Capítulo 12 (12 de Julio 2018): La proporción áurea: en sólo 1 minuto, la proporción más famosa del mundo, La proporción áurea, y sin nombrar a Fibonacci :)

  • Capítulo 13 (19 de Julio 2018): La campana de Gauss: ¿De dónde surge la necesidad y quién modela esto de la campana de Gauss que tan útil nos es a día de hoy en probabilidad?

  • Capítulo 14 (26 de Julio 2018): La espiral logarítmica: Al generarse por medio de una progresión geométrica hace que esté presente en el proceso de crecimiento/expansión de multitud de fenómenos naturales. Por eso, todos los días ves cientos de espirales logarítmicas. 

  • Capítulo 15 (2 de Agosto 2018): El Teorema Central del Límite: Os cuento cosas de este teorema tan genial, que nos va a garantizar que, la media de una muestra aleatoria simple de cualquier variable aleatoria converge a una distribución normal.

  • Capítulo 16 (9 de Agosto 2018) El método de Montecarlo, que más que un método es una idea que nos permite aproximar procesos deterministas a través de procesos estocásticos, es decir, utilizamos el azar para medir.

  • Capítulo 17 (16 de Agosto 2018)
  • Capítulo 18 (23 de Agosto 2018)
  • Capítulo 19 (30 de Agosto 2018)
  • Capítulo 20 (6 de Septiembre 2018)


Si te perdiste la temporada 1 o te apetece repasarla, tienes los diez capítulos disponibles en esta entrada: M1M Temporada 1.

Y ya están preparados los temas de la Temporada 3 :)

miércoles, 27 de junio de 2018

Calculadoras, jerarquía de las operaciones y otras mentiras...

Sucede que últimamente se han popularizado por las redes sociales este tipo de juegos/acertijo matemático/recreativo, en los que se plantea una operación múltiple y se proponen dos soluciones alternativas. Entonces la gente se divierte apostando a cuál será la solución correcta. Sucede también, como en la mayoría de juegos, que el enunciado del problema descansa sobre algún tipo trampa. Como ejemplo el problema que sea quizá el que comenzó todo este torbellino de despropósitos, el famosísimo 6:2(1+2)=1 ó 6:2(1+2)=9 que aparecía operado en dos calculadoras de la misma marca.  El clamor popular era JERARQUÍA DE LAS OPERACIONES!!! y apostaban todo al 9 rojo. Quizá sea este un buen momento para profundizar un poco más detenidamente en cómo se construye y se formaliza, matemáticamente, toda esta historia de las operaciones y las propiedades que tiene o que no tiene una operación. Todo esto os lo conté en un vídeo hace poco, pero puedes seguir leyendo el artículo, cuento lo mismo con otras palabras.





Empezamos por lo más elemental.

¿Qué es una operación? Pues casi cualquier libro de álgebra moderna/álgebra abstracta que consultemos nos dirá que una operación en un conjunto A, es una aplicación que relaciona elementos de AxA (producto cartesiano) en A (presuponiendo que la operación es interna, que para nuestro objetivo, es lo de menos). Es decir, la suma, por ejemplo, es una aplicación que lleva el par (x, y) al elemento x+y. Si definimos la suma en el conjunto de los naturales, N, pues (x, y) serán naturales, y si definimos la suma en el conjunto de los reales, R, pues (x, y) serán números reales. Por ahora, todo muy simple y muy sencillo. Además, en nuestra vida cotidiana operamos con números reales (pagamos en el supermercado, nos medimos/pesamos en la farmacia, viajamos cierta distancia en cierto tiempo...) por lo que nos vamos a permitir la licencia de contextualizar todo lo que viene a continuación presuponiendo que operamos siempre en el conjunto de los números reales. Nos olvidamos, de esta manera, de las restricciones puntuales que pueda haber, en ciertos aspectos de esta discusión, para conjuntos como los naturales, enteros (Z) o racionales (Q). Aclarado esto, vamos a dar un paso más. Siguiente pregunta.

¿Qué propiedades puede tener una operación? 
Una operación puede ser asociativa y/o conmutativa, y un elemento que operamos a través de una operación puede tener elemento neutro y/o tener elemento simétrico. Recalquemos: puede tener no implica que obligatoriamente tenga todas estas propiedades. Vamos a intentar analizar, de forma lo más sencilla posible, qué significa cada una de estas palabrejas. Tomaremos como ejemplo la operación suma. ¿Por qué? Pues porque es la operación más básica, la más extendida, y con la que todos nos podemos sentir más cómodos o familiarizados. La suma, además, es tan simpática que cumple con todas estas propiedades. Por ejemplo, la suma es asociativa. Eso significa que si quiero operar 2+3+4 puedo elegir operar (2+3)+4, de donde tendría 5+4 que da como resultado 9. Idéntico resultado obtendría si decidiera operar 2+(3+4) ya que de esta última expresión quedaría 2+7. Por lo tanto, la propiedad de ser asociativa no significa más que: a la hora de hacer operaciones múltiples puedo asociar los pares que me dé la gana y obtendré al final el mismo resultado. La suma también es conmutativa. Esto quiere decir, que de operar 2+3 obtengo el mismo resultado que de operar 3+2. Para la suma hay un elemento neutro. El elemento neutro no es otra cosa que aquel número que al operarlo a través de una operación no modifica la cantidad, es decir, 2+0 sigue siendo 2. Por esta razón, el 0 se dice que es el elemento neutro para la suma. En la suma también hay un simétrico para cada elemento. Un elemento simétrico es aquél que operado a cierta cantidad nos lleva al elemento neutro. Para la suma sería el elemento que sumado al 2 (por ejemplo) me llevara al 0, y esto es simplemente el -2, puesto que 2+(-2)=0. 

Ya sabemos qué es una operación y qué propiedades puede tener o no tener. Es en este momento cuando en matemáticas se intentan buscar patrones o estructuras comunes. Y eso es lo que lleva a la definición de grupo abeliano y de anillo. Un grupo abeliano es simplemente un conjunto y una operación sobre dicho conjunto que cumpla las propiedades de ser asociativa, conmutativa, con elemento neutro y para la cual todo elemento del conjunto tiene un simétrico. Un grupo abeliano se denota comunmente por la pareja (A, +) y a la operación se le suele llamar suma. Como acabamos de decir, grupo abeliano es una definición que nos va a permitir encontrar patrones de comportamiento. Así podemos decir que (Z,+) o (Q,+) son grupos abelianos y que (N, +) no lo es (los elementos de N no tienen un simétrico en N). Si a un grupo abeliano (A,+), le añadimos una segunda operación y además esta segunda operación cumple las propiedades de ser asociativa, conmutativa y tener elemento neutro, entonces la terna (A, +, ·) se dice que es un anillo (conmutativo). Esta segunda operación se suele nombrar como producto y denotar (como ya habréis intuido) por ·. Debemos notar aquí que no estamos exigiendo a esta segunda operación la de que todo elemento tenga simétrico y es está la mayor diferencia entre la operación suma y la operación producto. Pues bien, llegados a este punto, podemos decir que, desde un punto de vista formal, en nuestra vida cotidiana, todas las operaciones las realizamos en el anillo (R, +, ·), es decir, con números reales, con una operación suma que es asociativa, conmutativa, existe el elemento neutro y todos los elementos tiene simétrico (que llamaremos opuesto para la suma); y una operación producto que es asociativa, conmutativa y con elemento neutro. Ahora os preguntareis de forma natural, ¿dónde se ha dejado este tío la resta y la división? (pregunta que se puede extender a otras operaciones más complejas, digamos las potencias, raíces y compañía...)

Hemos definido para la suma un elemento simétrico, que llamaremos opuesto para el caso de la suma, y que denotaremos con el signo -. Ya hemos visto que el opuesto de 2 es -2. Podemos simplificar notación escribiendo 2-2 en lugar de 2+(-2). Además, el opuesto del opuesto es el elemento original, es decir, -(-2)=2, ya que -2+(-(-2))=2. Y ahí tenemos nuestra tan deseada operación resta. La resta surge de forma natural como la suma con el opuesto, es decir, la suma y la resta vienen a ser la misma operación. Algo parecido pasa con la división. En el caso de la multiplicación tendremos al 1 como elemento neutro, ya que multiplicar por 1 no altera la cantidad (que recordemos era el requisito para ser elemento neutro). Además, al simétrico de un elemento lo llamaremos inverso y lo denotaremos por 1/, ya que 2·(1/2) (por ejemplo) da como resultado el neutro del producto, el 1. No todos los elementos de R tienen inverso, ya que el 0 no lo tiene, pero los demás sí. De nuevo, para simplificar notación podemos escribir 2/2 en lugar de 2·(1/2), y fijaros, de nuevo la magia, hemos deducido la operación división a partir de la operación multiplicación. Quizá resulta natural preguntarnos ahora por qué no se define entonces un anillo como la terna (R, -, /). Pues quizá la razón más contundente para esto sea la de que estas operaciones, la resta y la división, no son operaciones tan simpáticas como la suma y la resta. Por poner un ejemplo sencillo de su tal antipatía, la resta no tiene la propiedad de ser conmutativa (2-3 no es lo mismo que 3-2) y la división, pues tampoco (2/3 y 3/2 tienen poco que ver). En matemáticas siempre se construye desde lo sencillo. La base es lo simple. Un anillo no es más que una estructura algebraica para un conjunto y unas operaciones y que reúne ciertas condiciones (condiciones que no se podrían reunir tomando como referencia otras operaciones).

Una vez que hemos aprendido que hay otra forma de mirar el mundo de las operaciones (la resta como la suma del opuesto y la división como la multiplicación por el inverso) es natural que nos preguntemos. ¿Y la jerarquía? ¿La jerarquía de las operaciones tiene algún fundamento matemático?

En la escuela nos enseñan que la jerarquía de las operaciones obliga primero a corchetes [] y paréntesis (); segundo a multiplicaciones · y divisiones / (ya hemos dicho que son la misma operación, por lo que es lógico que estén en el mismo orden de jerarquía); y por último nos quedarían las sumas + y las restas - (también son la misma operación). ¿Analizamos el fundamento de este orden jerárquico? Corchetes y paréntesis son signos naturales de agrupación, y si algo se ha decidido que esté agrupado es muy natural que se opere primero. Una vez que se ha operado lo agrupado solo quedarán productos y sumas y la jerarquía dice que debemos elegir operar primero los productos. Pero no por un consenso universal que se haya pactado para que alrededor del mundo todo ser humano que se encuentre en la disyuntiva pueda llegar a la misma solución, sino por un fundamento matemático sólido que es muy sencillo de ilustrar. Imaginemos que tenemos 2·3+1. El producto 2·3 se interpreta como la suma de dos veces 3 o como la suma de 3 veces 2, según el gusto y el punto de vista. Esto implica que 2·3+1 en realidad es la operación 3+3+1, y esto me imposibilita a realizar la cuenta 2·4, porque yo no tengo suficientes unos en 3+3+1 para poder sumar dos 4. Es decir, que la multiplicación va antes en jerarquía porque primero sumo todos los elementos que son iguales y luego ya sumo los que son distintos. Es sencillo y tiene un razonamiento matemático claro. ¿Qué pasa con las operaciones múltiples? La suma y el producto (como ya hemos visto) son ambas asociativas y conmutativas, lo cual me habilita para operar como yo quiera, como me dé la gana, en operaciones múltiples del tipo  2+3+4 o 2·3·4. ¿Qué pasa entonces si tengo 2:3·4? o más en concreto, ¿qué pasa si tengo, como aparecía en aquellas calculadoras, 6:2·3? Muy sencillo, no puedo operar. No puedo decidir por mí mismo qué operación va primero, si 6:2 o si 2·3. Una frase escrita de esta manera es una "operación mal construida" (parafraseando lo que sería en lenguaje de lógica proposicional una “proposición mal fomada”). No hay ningún fundamento matemático que nos imponga operar de un modo en concreto en esta situación. Esta operación sólo podrá ser resuelta si se formaliza el contexto en el cual está escrita. Por ejemplo, "en ausencia de paréntesis se opera de izquierda a derecha". Pero podría perfectamente pasar también que yo me despierte un día y me apetezca escribir un texto en el que imponga  que "en ausencia de paréntesis se dará prioridad al producto". Y tendría la misma validez. Porque estaría contextualizada y aclarada esta situación dual. Cuando no hay contexto, cuando no hay aclaración, no podemos decidir. Cualquier decisión será errónea. La coletilla de "operaciones en el mismo nivel de jerarquía se operan de izquierda a derecha" es falaz, no tiene ningún fundamento. Entonces, ¿por qué opera la calculadora? ¿Por qué no el típico Math Error

Primero hemos de aclarar que lo recién discutido sólo se puede aplicar al lenguaje escrito, digamos una frase escrita en un folio o en una pizarra o en un libro, o entre las líneas de este texto. Así, 6:2·3, así, sin más, no tiene ningún sentido. Esta discusión no se debe extrapolar al mundo de las calculadoras. Las calculadoras son objetos, seres inanimados, no piensan, no tienen corazón, sólo te responden (en su idioma, eso sí) a lo que tú le preguntes. Las calculadoras están programadas por un señor, un señor que, por nuestro bien, intenta que comunicarnos con la calculadora sea lo más sencillo posible. Por eso decide un protocolo que nos permita prescindir de paréntesis en la medida en que sea posible. Ahora bien, este señor programador no nos quiere engañar. No. Junto a la calculadora nos envía una hoja de instrucciones de uso, donde nos dice de forma muy detallada cómo tenemos que preguntarle a la calculadora cada tipo de cuestión. Así, en la página S-30 de la hoja de instrucciones de la calculadora modelo fx82MS dice textualmente “las demás operaciones se realizarán de izquierda a derecha”. Por otro lado, en la página 8 de las instrucciones relativas al modelo fx82SP dice textualmente “cuando se omite un signo de multiplicación inmediatamente antes de un paréntesis abierto… 6:2(1+2)->6:(2(1+2))” Es por esto que resulta realmente grave la confusión. No sólo es que no tiene ningún fundamento razonado (más allá de la búsqueda de consenso, que por otro lado no es matemáticas sino política) la supuesta obligatoriedad de operar de izquierda a derecha, sino que además olvidamos lo que realmente es la clave en este dilema: comprender que la calculadora no se equivoca, ser capaces de analizar su idioma y aprender a utilizar un objeto en nuestro propio favor. Cómo tengo que preguntar a esta calculadora en concreto debería ser el enigma a resolver en este juego.  

Sabéis que siempre me gusta hacer un alegato final a partir del discurso que se ha desarrollado. En este caso mi defensa es muy clara. Saber matemáticas no consiste en saberse la jerarquía de las operaciones (esa jerarquía la puede aplicar cualquier máquina programada para ello). Saber matemáticas es ser capaz de detectar algo extraño en dos calculadoras que ante la misma expresión (que no la misma operación) arrojan resultados distintos, es ser capaces de buscar qué hay detrás de esas diferencias, es poder/querer preguntarse qué está pasando. Dudar de lo más básico o de lo que en un principio nos parece más obvio (dime si conceptos como operación, suma o producto no eran cosas “demasiado obvias como para dudar de ellas”) es lo que nos va a permitir construir (o reconstruir) nuestro conocimiento de forma sólida. 

Este post forma parte del Carnaval de Matemáticas, que en esta septuagésima octava edición, también denominada 9.2, está organizado por @Pedrodanielpg a través de su blog A todo Gauss.

sábado, 9 de junio de 2018

viernes, 25 de mayo de 2018

Lo curioso de ordenar por fechas: sobre Cantor, el infinito y la moral.


Sucede que la historia de la ciencia se llena de matices cuando ordenamos los hechos secuencialmente. La mayoría de nosotros, por lo menos es lo que a mí me pasa, tenemos un montón de sucesos en nuestra cabeza, así como desordenados, hechos un ovillo, y no somos realmente conscientes de qué tal cosa sucedió antes, o qué tal cosa sucedió después. Y no me refiero al huevo o a la gallina, me refiero a cosas como ¿qué necesidad surge primero? ¿La necesidad de derivar o la necesidad de integrar? Según lo que estudiamos, nos formamos la idea natural de que primero es la derivada, y luego, ya si eso, vendrá la integral. Luego nos resulta sorprendente la idea de que la necesidad de una integral (¿Qué es la integral, de dónde surge y para qué sirve?) surgiera (posiblemente) mucho antes que la idea de la necesidad de una derivada (¿Qué es la derivada, de dónde surge y para qué sirve?). 

Pero hay un caso que es, si cabe, más llamativo que el anterior. Y es el de cuando los hechos cohabitan en el tiempo. Aquí se me ocurre pensar que en el momento en el que Galileo estaba en Roma abjurando por propia voluntad de sus locas ideas sobre traslación ante el papa Urbano VIII (soy juzgado por este Santo Oficio vehementemente sospechoso de herejía, es decir, de haber mantenido y creído que el Sol es el centro del mundo e inmóvil, y que la Tierra no es el centro y se mueve), estaba Kepler por allí por Alemania formulando sus leyes (Los planetas giran alrededor de Sol siguiendo una trayectoria elíptica. El Sol se sitúa en uno de los focos de la elipse). Que Galileo sea acusado de herejía por defender las mismas ideas que se defienden en las Leyes de Kepler, así al montón, no nos transmiten más que la evolución lógica del pensamiento a través de las evidencias. Sin embargo, la sorpresa salta (y como decía al principio, todo se llena de matices) cuando miramos fechas. Resulta que Galileo es acusado de herejía alrededor de 1616 y obligado a abjurar en 1633. Kepler formula su primera ley en 1606.

Pues bien, este tipo de situaciones no suceden únicamente en la historia de la ciencia. También hay casos muy curiosos en la historia de la matemática. Y este es un blog sobre matemáticas. Por eso voy a contaros el caso de Cantor, un señor que ha pasado a la historia por haber formalizado la noción de infinito. Hasta que Cantor llegó, se asumía que había cantidades infinitamente pequeñas o infinitamente grandes. Era una idea que Cauchy limpió y aseó en su intento por esclarecer el concepto de límite. Cuando una sucesión crece indefinidamente se decía que tiende a infinito. Pero no se había pronfundizado más en este tema. ¿Por qué? Dadme un poco de tiempo.

¿Cuántos números hay? Empezamos a contar: uno, dos, tres,... y la secuencia crece indefinidamente, por lo tanto decimos que se va a infinito. Entonces, pues infinitos. Pero Cantor rasca un poco más en esta cuestión. Sabe que hay distintos conjuntos de números. Los Naturales (que son estos que decíamos que se utilizan para contar y que hemos dicho que hay infinitos); los Enteros (que son los Naturales en positivo y en negativo y ya incluiríamos el cero, por lo que hay 2 veces infinito más uno, pero el doble de infinito es infinito, y sumar uno a donde ya hay infinito pues no aporta gran cosa); los Racionales (que son los que se escriben en forma de fracción, y burdamente hablando podríamos decir que hay alrededor de infinito*infinito o infinito^2, ya que elegimos un número de entre los Enteros para el numerador y otro para el denominador -pero infinitas veces el infinito es infinito, total, si el infinito es infinito...-); y los Reales (que son todos los números, y que ni siquiera podemos imaginarnos cuántos hay con estas cábalas informales que nos hemos planteado con los anteriores conjuntos). 

Cantor entonces se plantea, ¿todos estos conjuntos tienen la misma cantidad de números? Él era un experto en teoría de conjuntos (de hecho es uno de los "padres" de la teoría de conjuntos, una de las bases de la matemática moderna), por lo que no le fue muy difícil demostrar que existe una función biyectiva (una función biyectiva es simplemente un "puente" entre dos conjuntos, de forma que te lleva y te trae de un conjunto a otro conjunto de forma unívoca) entre los Naturales y los Enteros, y también entre los Naturales y los Racionales. Cuando fue a buscar la biyección entre los Naturales y los Reales se conoce que pinchó en hueso. Entonces le dio por pensar que eso de que "total, si el infinito es infinito..." quizá no sea del todo cierto, y que por extraño que parezca puede que haya unos infinitos que sean más grandes que otros infinitos. Es aquí donde su genio brilló demostrando, por medio de lo que se conoce como "argumento de la diagonal de Cantor", que efectivamente no existe tal aplicación biyectiva entre los Naturales y los Reales, y que por tanto, por muy infinito que fuera el conjunto de los números Naturales, el de los números Reales tenía más números, muchos más, incontablemente más! 

Y ahora podríamos pensar que ante tal descubrimiento Cantor debió de estallar en júbilo y alegría. Un avance tan significativo en la matemática lo haría pasar a la historia, ¿no? Pues no. La realidad es bien distinta. Cantor vio un problema moral en su descubrimiento, atentaba, de nuevo, contra la Santa Madre Iglesia, y pensó que él mismo estaba acometiendo una nueva herejía unos 250 años después del juicio contra Galileo. Pero no preocuparos. Para eso están los amigos, y Cantor fue contemporáneo de grandísimos matemáticos (doctorando de Weierstrass y Kummer, por ejemplo)  que seguro que decidieron ayudarle ante tal evidencia. Ah, ¿que no? ¿que fue más bien lo contrario? (no se si os suena Kronecker, pero le hizo la vida imposible por blasfemo). Finalmente, Cantor entró en profunda depresión, vivió el resto de su vida con más pena que gloria, intentando formalizar una nueva noción, la de “infinito absoluto”. ¿Y eso? Dame un poco de tiempo.

El punto de vista que nos da vivir en pleno siglo XXI, en una sociedad laica (ejem ejem), no nos permite entender en qué sentido, un descubrimiento tan genial podría ser considerado herejía o blasfemia hace poco más de 100 años. Comprender esto nos va a permitir evaluar la verdadera magnitud y el calado del descubrimiento de Cantor. Para ello tenemos que retroceder de nuevo a los tiempos de Galileo.

A principios del XVII nace una corriente filosófica que con el tiempo se ha venido en llamar Racionalismo. Es esta la corriente filosófica más matemática de entre todas las corrientes filosóficas, por lo que no es de extrañar que entre sus tres representantes más ilustres haya dos que fueron matemáticos de renombre. La terna en cuestión está formada por: Descartes, que te sonará por aquello del sistema cartesiano, y al cual le debemos una contribución mucho más importante a la matemática: la formalización de "el método" (El discurso del método, Reglas para la dirección de la mente); Leibnitz -este es uno de los más grandes- le debemos el descubrimiento del cálculo diferencial e integral (dicen que junto con Newton); y Spinoza (este es el no matemático). Sobre los pensamientos de estos tres señores se construye, como hemos dicho, la filosofía Racionalista. Esta corriente defiende la duda como el único camino que nos permite conocer la verdad. Para ello se basa en la deducción lógica y razonada de cualquier cuestión observable en nuestro entorno. De hecho, lo que Descartes pretendía, era aplicar métodos geometrícos de demostración (al estilo de Euclides en Los elementos) a cualquier cuestión que fuera filosóficamente planteable. 

Ya sabemos que en esa época (no como ahora) la Iglesia tenía una influencia bastante reseñable en la sociedad. En aquella época, la educación estaba reservada a las clases nobles, las cuales recibían, junto con las lecciones sobre geometría o historia, una fuerte dosis de adiestramiento religioso. Por lo tanto, todas estas personalidades, célebres por haber conseguido contribuir al conocimiento (ya sea en ciencias o en letras), resulta que tenían fuertes convicciones religiosas. Por eso no es de extrañar, que entre los oficios de muchos ellos se encuentre el de Teólogo. Pues bien, Descartes, Leibnitz y Spinoza -por mucho que su filosofía se basara en la deducción euclidiana de cualquier cuestión-, tampoco se libran de estas cadenas. Los tres atendieron a la cuestión moral de la existencia de Dios desde el punto de vista de su filosofía, desde el Racionalismo. Descartes dedica la cuarta parte de su Discurso del Método a exponer las pruebas de la existencia de Dios y del alma humana y Spinoza nos legó su Ética, un tratado sobre moral expuesto en forma de proposición-demostración. Pero quien aquí va a poner luz sobre el tema que estamos planteando es Leibnitz. Monadología es una obra que resume su filosofía y que está expuesta en forma de párrafos lógicos secuenciados de forma que unos se van deduciendo de otros. Pues bien, en el párrafo 53 nos dice Ahora bien, como hay una infinidad de universos posibles en las ideas de Dios y como no puede existir sino sólo uno de ellos, es necesario que exista una razón necesaria de la elección de Dios, la cual le determine a uno antes que a otro. En este párrafo nos está diciendo que la coexistencia de infinitos es contradictoria. Que sólo puede existir un infinito. Puesto que Dios es infinito, Dios existe. En el fondo se está ligando la idea de infinito con la idea de Dios. Ambos son conceptos que trascienden lo humano. La existencia de un único infinito es la prueba definitiva de la existencia de Dios.

Esta pseudo-demostración perdura a través de los años, se asienta dentro de la moral y se va transformando poco a poco (o no tan poco a poco) en firme convicción entre las personalidades ilustradas. ¿Entendemos ahora cómo se siente Cantor cuando un inocente juego se transforma en la demostración formal de que el infinito no es único? Contrarrecíproco: si hay distintos infinitos, entonces Dios no existe. ¿Sería esta la primera frase que pensó cuando su maldita diagonal le dio la razón y consiguió demostrar que en los Reales hay una cantidad incontablemente más grande de números que la simple infinita cantidad de número que hay en los Naturales?

Esta historia que te acabo de contar quizá te resulte absurda, quizá simplemente entretenida o sorprendente. Sin embargo, hay algo que podemos aprender de ella. La genialidad de Cantor no reside únicamente en su capacidad para resolver cuestiones tremendamente complicadas de forma elegante e imaginativa, sino en su capacidad para cuestionarse sus propias convicciones ante una evidencia. Precisamente eso es la matemática. No es simplemente el hacer cálculos complejísimos, sino más bien, la capacidad de dudar, de dudar de uno mismo, de razonar y de vencer el propio fanatismo o la propia convicción en favor del rigor y de la verdad. En esto Cantor fue un gran ejemplo. Quizá no venció, pero siempre luchó.

Como ya sabéis, a veces me gusta comprimir en 1 minuto estas historias. El infinito de Cantor fue el último capítulo de la primera temporada de Matemáticas en 1 minuto y puedes verlo aquí.


Este post forma parte del Carnaval de Matemáticas, que en esta septuagésima séptima edición, también denominada 9.1, está organizado por Rafael Martínez González a través de su blog El mundo de Rafalillo.

miércoles, 23 de mayo de 2018

Directos especiales selectividad (2018)

#11 10 de Junio de 2018

Preguntas (no se incluyen en el guión preguntas subjetivas o de valoración):

#10 09 de Junio de 2018

Preguntas (no se incluyen en el guión preguntas subjetivas o de valoración):

#09 05 de Junio de 2018

Preguntas (no se incluyen en el guión preguntas subjetivas o de valoración):

#08 04 de Junio de 2018

Preguntas (no se incluyen en el guión preguntas subjetivas o de valoración):


#07 02 de Junio de 2018

Preguntas (no se incluyen en el guión preguntas subjetivas o de valoración):


#06 01 de Junio de 2018

Preguntas (no se incluyen en el guión preguntas subjetivas o de valoración):

#05 31 de Mayo de 2018

Preguntas (no se incluyen en el guión preguntas subjetivas o de valoración):

*Ecuación del plano perpendicular a un plano dado y que contiene al eje OX. Determinar el punto de este plano más cercano al origen
*I·A=A, entonces ¿-I·A=-A?
*Representar los límites de una región factible y encontrar los vértices...
*Probabilidad con distribución normal (Teorema central del límite, 60 chopos)
*La recta tangente a la curva y=x^2 en el punto de abscisas x=2 es y=4x-4. Calcula el área limitada por la curva, la recta tangente en x=2 y el eje de abscisas
*Ecuación del plano que contiene a una recta y es paralelo a otra dada
*primitiva de f(x)=[e^(2x)]/[1+e^x] que pasa por (0, 1)
*Determinar los parámetros de una función para que tenga un mínimo en x=3 y pase por (-1, 12)
*Probabilidad: Tabla de contingencia: ejercicio resuelto
*Problema de probabilidad con distribución normal: probabilidad de acceder a una plaza...
*Ecuaciones, vectores normales y vectores directores de los "planos coordenados":OXY, OXY, OYZ
*f(x)=(2x+m)/x, m para que la tangente en x=-3 sea paralela a x-3y+1=0
*Problema con distribución normal: distribución de la media muestral. Ejercicio resuelto.
*Potencia n-ésima de una matriz
*Derivada de una función potencial-exponencial y=(3x)^(2x)
*f(x)=(6-x)e^(x/3). Dominio, asíntotas y corte con los ejes.
*Problema de funciones elementales. Plantear una función del tipo exponencial.
*Límite (x a 0) de (asinx-xe^x)/(x^2) determinar el valor de a para que el límite sea finito y el valor de dicho límite
*Problema un poco extraño de probabilidad (diagrama de arbol) (o extraño o que no lo he entendido bien)
*Calculo de probabilidades en una distribución normal. Ejercicio.
*Determinante utilizando las propiedades
*Determinar valores de un parámetro para que dos planos sean perpendiculares entre si. Determinar valores de un parámetro para que una recta sea paralela a un plano.
*¿cos(90-alpha)=sin(alpha) cuando estamos calculando ángulos entre variedades?







En el directo ordinario del miércoles del 30 de Mayo también hubo muchas preguntas de selectividad. Puedes ojear el guión aquí.

#04 29 de Mayo de 2018

Preguntas (no se incluyen en el guión preguntas subjetivas o de valoración):

*Integral racional (Andalucía Junio 2015, Matemáticas II, Opción A)
*Encontrar un valor de una parámetro 'a' para que cierto sistema sea compatible determinado
*Derivabilidad de una función definida a trozos dependiente de los valores de dos parámetros utilizando la definición de derivada
*Área entre dos curvas (Andalucía 2017 Reserva 3, Matemáticas 2 Opción B)
*Represenación gráfica de -[-x] (parte entera)
*Cálculo de una primitiva por cambio de variable (Andalucía 2017, Matemáticas II, Reserva 2, Opción B)
*Determinar valores de dos parámetros para que una función definida a trozos sea continua en R. Estudiar su derivabilidad para estos dos valores.
*Posición relativa entre tres planos
*límite (x a 0) de xlnx
*Indeterminación infinito-infinito (raíces)
*Límite (x a inf) raiz(1-x^3)-raiz(x^4+2)... no es indeterminación!
*Corrección (finalización) del problema de probabilidad de los científicos de ayer
*Problema de optimización: dimensiones de un cilindro de volumen máximo dentro de una esfera de radio 1
*lim (x a 0) de [sen2x+(1-x)^2-1]/ln(cosx)
*lim (x a inf) de raiz(2x+raiz(2x))-raiz(2x)

Resuelve todas tus dudas de matemáticas.Pregunta en directo. Hoy, especial selectividad.


#03 28 de Mayo de 2018

Preguntas (no se incluyen en el guión preguntas subjetivas o de valoración):

*Problema de distribución de la media muestral (aplicación del teorema central del límite)
*Problema probabilidad (diagrama de árbol)
*Problema optimización de funciones: Maximizar superficie de escritura en una cartulina con una superficie dada
*Problema de probabilidad de sucesos
*Distribución normal: Calcular el valor que deja por debajo un 33% de la población.
*Estudiar el crecimiento de una función y encontrar un intervalo de longitud 1 donde se anula (th. de Bolzano)
*Integral: int[xln(x^2+1)]dx
*Calculo de probabilidades (tabla de contingencia)
*Otro problema con tabla de contingencia.
*lim (x a 0) de raiz(x)*ln(x)/2^x
*Problema de optimización de funciones: punto de la parábola más cercano al origen...
*Problema de probabilidad (diagrama de árbol)
*Otro problema con diagrama de árbol (nivel alto)
*Problema de probabilidad distribución hipergeométrica enfocado desde el punto de vista de las técnicas de conteo...

Resuelve todas tus dudas de matemáticas.Pregunta en directo. Hoy, especial selectividad.


#02 24 de Mayo de 2018

Preguntas (no se incluyen en el guión preguntas subjetivas o de valoración):

*Distancia entre un punto y una recta.
*Distancia entre dos rectas.
*Integral definida del tipo racional int[(x^2+1)/(x+1)^2]dx
*Dada la función y=sen x, halla un punto en el intervalo (0,pi/2) en el que la recta tangente sea paralela a la cuerda que pasa por (0,0) y (pi/2,1).
*Ejercicio de distribución binomial.
*Continuidad de una función definida a trozos (un caso bastante raro)
*Plano que contiene a una recta y es paralela a otra (Selectividad, Andalucía, MII, 2014)
*Derivabilidad de la función f(x)=|x-1|-x
*Calcular valores de los parámetros m, n para que la recta esté contenida en el plano.
*Límite x-->0 de la función f(x)=(arctgx-x)/(2x-arcsenx)
*Ejercicio Selectividad Cataluña Junio 2016, Ejercicio 1
*Problema de optimización de funciones. Sea la parábola y=x^2-4x+4, y un punto (p,q) sobre ella con 0 menor o igual p menor o igual 2, formamos un rectángulo con lados paralelos a los ejes, con vértices opuestos (0,0) y (p,q).

*Fin de la emisión por problemas técnicos :(

En el directo ordinario del miércoles del 23 de Mayo también hubo muchas preguntas de selectividad. Puedes ojear el guión aquí.

#01 22 de Mayo de 2018

Preguntas (no se incluyen en el guión preguntas subjetivas o de valoración):

*Mini presentación.
*Perpendicular común a dos rectas dadas.
*¿Son incompatibles la asíntota horizontal y la asíntota oblícua?
*Límite con indeterminación infinito-infinito
*Dominio de una función
*¿Por qué la fórmula de la binomial es esa?
*Cálculo de la primitiva int(2(2x^2+2)^3)dx
*Integral ¿imposible?
*Integral por transformación de funciones que desemboque en un arcoseno... (sin hacer, sólo propuesta de solución, en deuda para próximos directos si se diera el caso)
*Cálculo de la primitiva int[2x^4/(x-1)^3]dx
*Algo sobre optimización de funciones...
*Notas sobre sucesos independientes.
*Sistema compatible indeterminado por medio de la regla de Cramer.

miércoles, 2 de mayo de 2018

DIRECTOS MAYO

Para que la entrada de los directos no vaya quedando demasiado atrás en la línea de tiempo, cada mes voy a publicarla como una nueva entrada. Tenéis disponibles las fechas de los directos programados para el mes y los enlaces a los directos ya emitidos con un guión/resumen de las preguntas que se plantearon. Puedes pinchar sobre cualquier directo para acceder al vídeo.

DIRECTO 30 MAYO 2018

  • P(X<a)=P(X>-a)?
  • int([raiz(x)/(1+raiz(x))]dx
  • ¿Al tomar una matriz de orden 2 de una matriz de orden 3 (para calcular el rango) pueden estar los elementos separados (en la matriz original)?
  • Núcleo e imagen de una aplicación lineal de R3 a R2.
  • Cómo representar la ecuación de la recta. Tabla de valores.
  • Problema de selectividad Pais Vasco Junio 2017 ccss. Optimización de funciones.
  • Problema de cálculo de probabilidades con distribución normal.
  • Problema de distribuciones de probabilidad (binomial)
  • Pasar una recta en el espacio, de general a paramétrica.
  • ¿Por qué funciona el método de Gauss si estamos en geometría?
  • Límite [x a infinito] de (x^2-x)/(x-5)+ax+k =0
  • Límite [x a 1] de (cos(pix)+2^x)^(1/lnx).... se resuelve de dos formas?
  • Por qué para maximizar el valor de la pendiente utilizo la segunda derivada?
  • Cómo distingo en integración un arctg y un ln?
  • Cómo se si una función tiene asíntota vertical?
  • Determinación de un intervalo de confianza.
  • ¿Cómo resuelvo una ecuación que tenga valores absolutos?
  • Problema de probabilidad total y teorema de Bayes (diagrama de árbol)


DIRECTO 23 MAYO 2018

  • Estudio de la convergencia de una serie alternada (criterio del cociente)
  • Límite indeterminación 0/0 por l'hopital: f(x)=xsinx/log(1+x^2)
  • Notas sobre transformaciones lineales (cómo encontrar la imagen de variedades afines a través de una aplicación lineal)
  • Cómo saber con qué serie comparar cuando aplicamos el criterio de comparación en el estudio de la convergencia de series numéricas
  • Integral definida entre 0 y pi/4: int(xsinx)dx
  • Notas sobre ordenes de convergencia de funciones: ln x<<x^a<<a^x
  • Estudio de la convergencia de la serie an=10^x/x^nx
  • Corte con los ejes y asíntota oblícua de la función f(x)=x^3/(x-1)^2
  • Demostrar que n·r^n converge a 0 si r<1
  • Ejercicio de áreas del examen de selectividad de Andalucía año 2015 Matemáticas II (Reserva 4, Ejercicio 2, Opción B): determinar el valor del parámetro a>1 para que el área entre y=-x^2+ax e y=x sea 4/3.
  • Ejercicio de áreas del examen de selectividad de Andalucía año 2015 Matemáticas II (Reserva 3, Ejercicio 2, Opción B): área de la región delimitada por f(x)=raíz(2x) y g(x)=x^2/2
  • Comentarios sobre límites en el infinito de una función exponencial.
  • Representar aproximadamente (asíntotas e intervalos de crecimiento y decrecimiento) la función f(x)=x/(e^x-1)


A PARTIR DEL 22 DE MAYO EMPIEZAN LOS ESPECIALES SELECTIVIDAD: PREGUNTAS Y FECHAS AQUÍ


DIRECTO 16 MAYO 2018

  • Corrección del error del ejercicio 4c del examen de selectividad de Madrid, Matemáticas II, Modelo 2018 A: Probabilidad condicionada en una distribución normal.
  • Integral de una potencia décima: inmediata.
  • Convergencia de una serie: criterio de la raíz.
  • Integral de una función con una raíz cúbica dividiendo: transformación de funciones.
  • Calcular parámetros a y b de una función conocidos un máximo y un punto de inflexión de la función.
  • ¿Por qué 1^infinito es indeterminación y no 1?
  • Determinar parámetros a, b y c de una función conocidos un máximo, un punto de inflexión de la función y un punto por el que pasa la función.
  • Límite (x-->0+) raiz(x)ln(x)/2^x
  • Calcular el nivel de confianza para el cual se ha calculado un intervalo de confianza.
  • Determinar los parámetros a y b para que una función definida a trozos sea continua sabiendo además que f(2)=3
  • Cálculo de probabilidades en una distribución de la media muestral.
  • Raíz cúbica de un cociente de números complejos.
  • Planteamiento de un problema de ecuaciones lineales (edades) con 3 incognitas.
  • Expresar sucesos en notación de conjuntos.
  • Área delimitada por una curva y el eje OX.


DIRECTO 09 MAYO 2018+RECONEXIÓN

En dos partes por problemas de conexión debido a la tormenta :) Temas que se tratan:
Primera parte:
  • Cálculo de probabilidades con una distribución hipergeométrica
  • Matriz asociada a un cambio de base
  • Integral (x^3·lnx)dx
Segunda parte:
  • Terminamos integral anterior
  • Cómo sabemos si dos rectas en el espacio están en el mismo plano
  • Límite indeterminación inf-inf
  • Integral (1/raiz(x)-x)dx
  • Cálculo de probabilidades. Diagrama de árbol. Devolvemos tres libros al azar, cuál es la probabilidad de que alguno esté en su lugar correcto.
  • Distribución binomial. La probabilidad de que llueva es 73/365, cuál es la probabilidad de que en una semana llueva más de 2 días.
  • Integral arcoseno (como apañar para resolverla inmediata)
  • Cómo distingo diagrama de árbol o tabla de contingencia
  • Dominio de una función del tipo f(x)^g(x) donde f y g son racionales.
  • Cómo distingo teorema de la probabilidad total y teorema de Bayes. 
DIRECTO 02 MAYO 2018

  • Hasta el minuto 18 divagaciones varias
  • Cálculo integral: volumen entre esfera y paraboloide. Coordenadas cartesianas. Coordenadas cilíndricas.
  • Límites: Valores de a y b para que cierto límite valga 4. Indeterminación tipo inf- inf.
  • Límites: indeterminación del tipo 0/0
  • Derivadas: Cálculo de una derivada "larga"


DIRECTO 25 ABRIL 2018
  • ¿Por qué hay que cuando tenemos varias filas que se descomponen como suma de dos o más elementos hay que "separarlas de una en una" al aplicar las propiedades de los determinantes?
  • Calcular la recta que es paralela a una dada y que corta a otras dos rectas dadas. Ejercicio selectividad Matemáticas II, Andalucía 2013. Dos métodos.

DIRECTO 18 ABRIL 2018
  • Integral del examen de selectividad de Castilla y León Modelo 0 2018.
  • ¿Por qué se factoriza en números primos?
  • Aproximación de una integral por medio de una suma de Riemann subdividiendo el intervalo en cuatro subintervalos.
  • Distancia recorrida por una rueda de diámetro determinado al girar una cantidad de vueltas concreta.
  • Rango de una función exponencial
  • Cálculo de una integral definida por medio de una suma de Riemann.
  • ¿Por qué no se pone el igual al calcular la derivada de una función definida a trozos?

DIRECTO 11 ABRIL 2018: CANCELADO

DIRECTO 4 ABRIL 2018
  • Cómo se resuelve x^x=4
  • Cómo se dibuja un campo vectorial. Ejemplo propuesto: F(x,y)=xi-yj
  • Aclaración sobre planteamiento de un problema de optimización con restricciones de igualdad: Cómo obtener los ejes de la elipse que surge de la intersección entre x^2+y^2+2z^2=605 y 2x+y+z=0.
  • Cómo se calcula la matriz Jacobiana del cambio a coordenadas polares.ç
  • Integral trigonométrica: int(sin^3 x/cos^4 x)dx
  • Por qué se utiliza una "esfera" para definir los extremos relativos en R3?
¿DIRECTO 28 MARZO 2018? ¿SEMANA SANTA? No habrá directo

¿DIRECTO 21 MARZO 2018? ¿SEMANA SANTA? No habrá directo

DIRECTO 14 MARZO 2018
  • Trigonometría: cálculo de un cateto, conocidos un cateto y un ángulo.
  • Trigonometría: ¿cómo aplico trigonometría cuando el triángulo no es rectángulo?
  • Números complejos: calcular los seis vértices de un hexágono, conocido el valor de uno de ellos.
  • Geometría: calcular la ecuación de la circunferencia, conocidos el centro y un punto.
  • Álgebra (matrices): Calcular una matriz A, sabiendo que es simétrica y conocida su matriz de adjuntos.
  • Probabilidad: problema relacionado con la distribución de Poisson.
  • Cálculo: Optimización con restricciones de igualdad en R2.
DIRECTO 7 MARZO 2018
  • Problema de series: encontrar la sucesión que describe el área ciertos triángulos y calcular su suma infinita.
  • Calcular el área del recinto limitado por la curva de una función definida a trozos y el eje OX.
  • Calcular la potencia n-ésima de una matriz.
  • Calcular un vector perpendicular a dos vectores dados y de un tamaño predefinido.
  • Resolver una indeterminación del tipo inf^0
  • Calcular la primitiva de una función con raíces de distinto indice.
DIRECTO 28 FEBRERO 2018
  • Integral definida (cambio de variable y por partes).
  • Asíntotas horizontales y puntos de inflexión de una función exponencial.
  • Integral de un producto (por partes) entre polinomio y logarítmica.
  • Derivada del logaritmo de la raíz de un cociente.
  • Determinar los parámetros de una función para que esta cumpla ciertas condiciones (extremos relativos)
DIRECTO 21 FEBRERO 2018
  • Simplificación máxima de expresiones algebraicas.
  • Resolución de una integral de dificultad alta y planteamiento de otra.
  • Problema de probabilidad muy molón, tan molón que hice vídeo propio formalizándolo mejor.
  • Representación gráfica e interpretación de una función.
  • Estudio de la continuidad, y estudio de los extremos relativos e intervalos de crecimiento de una función definida a trozos.
  • Problema de números complejos: "demostrar la cualidad de un número complejo u que hace que para todo número complejo z, suceda que zzu y zu² son las soluciones de una raíz cúbica". 
DIRECTO 14 FEBRERO 2018
  • Determinante de matrices de orden 4 o mayor.
  • Derivabilidad de una función definida a trozos.
  • Ejercicio sobre subespacios vectoriales: "tengo un subespacio V ={(x1, x2, x3, x4) ∈ R4 : x1 −x2 −x3 −x4 = 0} ⊂ R4 y un punto de un final de Algebra dice: Hallar un subespacio S ⊂ R4 de dimensión 2 tal que S ⊂ V (para el subespacio V del enunciado) y otro subespacio W ⊂ R4 tales que S⊕W = R4."
  • Problema de ángulos de la olimpiada de la región de Murcia 2018 (pendiente de la semana pasada).
  • Ecuación matricial e inversa de una matriz.
DIRECTO 07 FEBRERO 2018
  • Ejercicio de propiedades de potencias, forma potencial de una raíz...
  • Cómo resolver sistemas de ecuaciones (2 ecuaciones y 2 incógnitas): sustitución, igualación y reducción.
  • Derivadas de funciones logarítmicas aplicando las propiedades de los logaritmos. 
  • Problema 6 de la olimpiada de murcia 2018 de triángulos. No resuelto. Queda pendiente para el próximo directo.
  • Problema de optimización: dimensiones de un cilindro de 160 litros para minimizar la superficie.
  • Problema de funciones con función exponencial.
  • Cálculo de los valores de un parámetro para que una función cumpla ciertas propiedades (aplicación de las derivadas).
  • Cálculo del área delimitada por una función definida a trozos.
  • Funciones logarítmicas.
  • Crecimiento, decrecimiento, máximos y mínimos de una función definida a trozos.
  • Cálculo de una integral racional con denominador de raíces complejas.
  • Resolución de una ecuación trigonométrica. 
  • Problema 2 (lados de un triángulo en progresión geométrica) de la olimpiada matemática de la fase regional de fecha 19/10/2018.  (Mirar en los comentarios pues anoto otra solución además de la que se propone en el vídeo)
  • Cómo se determina un plano sabiendo que pasa por un punto, es paralelo a una recta dada y perpendicular a un plano determinado. 
  • Diferencia entre calcular un plano paralelo a una recta y un plano que contiene a una recta. 
  • Cómo calcular el punto de corte entre una recta y un plano
  • Optimización ADE UMU: máximo beneficio 
  • Problema selectividad Valencia Julio 2017: corte con los ejes, crecimiento-decrecimiento de una función, área entre dos curvas, área de una curva con el eje OX. 
  • Definición de función inyectiva, sobreyectiva, biyectiva. 
  • Centro y radio de una circunferencia que se obtiene como intersección de una esfera y un plano
  • Problema de programación lineal 
  • Valores de los parámetros de un polinomio para que cumpla ciertas propiedades. 
  • Cálculo de primitivas (separación en fracciones simples) 
  • Valores de un parámetro para que la función tenga un extremo relativo en un punto en concreto. 
  • Pendiente de la ecuación de la recta tangente a una función en un punto.
  • Posiciones relativas y ángulo entre recta y plano 
  • Perpendicular común a dos rectas dadas 
  • Problema de programación lineal 
  • Posición relativa entre tres planos dependiendo de un parámetro. 
  • Problema de ecuaciones lineales (3 ecuaciones y 3 incógnitas) 
  • Punto simétrico a uno dado respecto a una recta.

De este punto en adelante (hacia arriba) parece que me desenvuelvo mejor en los directos y que no quedan tan caóticos. Por lo tanto ya no habrá mas resúmenes. Las preguntas van en orden, así podéis mover la barra de tiempo y moveros a la pregunta que os interese.


  • Examen selectividad Cantabria Junio 2017 opción A.
  • Máximo de una función en un intervalo dado.
  • Ejercicio selectividad Castilla La Mancha Septiembre 2017 (Estadística)
  • Cómo estudiar la continuidad de una función en un punto
  • Si una progresión no es aritmética ni geométrica ¿que es?
  • Derivadas sucesivas de una función compuesta
  • ¿cómo se determina la matriz transpuesta?
  • Extremos relativos de una función en R2.
Y ahora, como siempre te digo, si echas algo en falta, te gustaría comentar algún tema, puntualizar algo o hacer cualquier observación, te animo a que escribas en los comentarios. Todas las propuestas son bienvenidas.

viernes, 20 de abril de 2018

MISCELANEA TEMPORAL

Añado aquí, de forma temporal, enlace a algunos vídeos que aun no pueden ser clasificados de otra forma. Con el tiempo encontraran un sitio más adecuado.

CÁLCULO:

GEOMETRÍA PLANA:
CALCULADORA: