viernes, 25 de mayo de 2018

Lo curioso de ordenar por fechas: sobre Cantor, el infinito y la moral.


Sucede que la historia de la ciencia se llena de matices cuando ordenamos los hechos secuencialmente. La mayoría de nosotros, por lo menos es lo que a mí me pasa, tenemos un montón de sucesos en nuestra cabeza, así como desordenados, hechos un ovillo, y no somos realmente conscientes de qué tal cosa sucedió antes, o qué tal cosa sucedió después. Y no me refiero al huevo o a la gallina, me refiero a cosas como ¿qué necesidad surge primero? ¿La necesidad de derivar o la necesidad de integrar? Según lo que estudiamos, nos formamos la idea natural de que primero es la derivada, y luego, ya si eso, vendrá la integral. Luego nos resulta sorprendente la idea de que la necesidad de una integral (¿Qué es la integral, de dónde surge y para qué sirve?) surgiera (posiblemente) mucho antes que la idea de la necesidad de una derivada (¿Qué es la derivada, de dónde surge y para qué sirve?). 

Pero hay un caso que es, si cabe, más llamativo que el anterior. Y es el de cuando los hechos cohabitan en el tiempo. Aquí se me ocurre pensar que en el momento en el que Galileo estaba en Roma abjurando por propia voluntad de sus locas ideas sobre traslación ante el papa Urbano VIII (soy juzgado por este Santo Oficio vehementemente sospechoso de herejía, es decir, de haber mantenido y creído que el Sol es el centro del mundo e inmóvil, y que la Tierra no es el centro y se mueve), estaba Kepler por allí por Alemania formulando sus leyes (Los planetas giran alrededor de Sol siguiendo una trayectoria elíptica. El Sol se sitúa en uno de los focos de la elipse). Que Galileo sea acusado de herejía por defender las mismas ideas que se defienden en las Leyes de Kepler, así al montón, no nos transmiten más que la evolución lógica del pensamiento a través de las evidencias. Sin embargo, la sorpresa salta (y como decía al principio, todo se llena de matices) cuando miramos fechas. Resulta que Galileo es acusado de herejía alrededor de 1616 y obligado a abjurar en 1633. Kepler formula su primera ley en 1606.

Pues bien, este tipo de situaciones no suceden únicamente en la historia de la ciencia. También hay casos muy curiosos en la historia de la matemática. Y este es un blog sobre matemáticas. Por eso voy a contaros el caso de Cantor, un señor que ha pasado a la historia por haber formalizado la noción de infinito. Hasta que Cantor llegó, se asumía que había cantidades infinitamente pequeñas o infinitamente grandes. Era una idea que Cauchy limpió y aseó en su intento por esclarecer el concepto de límite. Cuando una sucesión crece indefinidamente se decía que tiende a infinito. Pero no se había pronfundizado más en este tema. ¿Por qué? Dadme un poco de tiempo.

¿Cuántos números hay? Empezamos a contar: uno, dos, tres,... y la secuencia crece indefinidamente, por lo tanto decimos que se va a infinito. Entonces, pues infinitos. Pero Cantor rasca un poco más en esta cuestión. Sabe que hay distintos conjuntos de números. Los Naturales (que son estos que decíamos que se utilizan para contar y que hemos dicho que hay infinitos); los Enteros (que son los Naturales en positivo y en negativo y ya incluiríamos el cero, por lo que hay 2 veces infinito más uno, pero el doble de infinito es infinito, y sumar uno a donde ya hay infinito pues no aporta gran cosa); los Racionales (que son los que se escriben en forma de fracción, y burdamente hablando podríamos decir que hay alrededor de infinito*infinito o infinito^2, ya que elegimos un número de entre los Enteros para el numerador y otro para el denominador -pero infinitas veces el infinito es infinito, total, si el infinito es infinito...-); y los Reales (que son todos los números, y que ni siquiera podemos imaginarnos cuántos hay con estas cábalas informales que nos hemos planteado con los anteriores conjuntos). 

Cantor entonces se plantea, ¿todos estos conjuntos tienen la misma cantidad de números? Él era un experto en teoría de conjuntos (de hecho es uno de los "padres" de la teoría de conjuntos, una de las bases de la matemática moderna), por lo que no le fue muy difícil demostrar que existe una función biyectiva (una función biyectiva es simplemente un "puente" entre dos conjuntos, de forma que te lleva y te trae de un conjunto a otro conjunto de forma unívoca) entre los Naturales y los Enteros, y también entre los Naturales y los Racionales. Cuando fue a buscar la biyección entre los Naturales y los Reales se conoce que pinchó en hueso. Entonces le dio por pensar que eso de que "total, si el infinito es infinito..." quizá no sea del todo cierto, y que por extraño que parezca puede que haya unos infinitos que sean más grandes que otros infinitos. Es aquí donde su genio brilló demostrando, por medio de lo que se conoce como "argumento de la diagonal de Cantor", que efectivamente no existe tal aplicación biyectiva entre los Naturales y los Reales, y que por tanto, por muy infinito que fuera el conjunto de los números Naturales, el de los números Reales tenía más números, muchos más, incontablemente más! 

Y ahora podríamos pensar que ante tal descubrimiento Cantor debió de estallar en júbilo y alegría. Un avance tan significativo en la matemática lo haría pasar a la historia, ¿no? Pues no. La realidad es bien distinta. Cantor vio un problema moral en su descubrimiento, atentaba, de nuevo, contra la Santa Madre Iglesia, y pensó que él mismo estaba acometiendo una nueva herejía unos 250 años después del juicio contra Galileo. Pero no preocuparos. Para eso están los amigos, y Cantor fue contemporáneo de grandísimos matemáticos (doctorando de Weierstrass y Kummer, por ejemplo)  que seguro que decidieron ayudarle ante tal evidencia. Ah, ¿que no? ¿que fue más bien lo contrario? (no se si os suena Kronecker, pero le hizo la vida imposible por blasfemo). Finalmente, Cantor entró en profunda depresión, vivió el resto de su vida con más pena que gloria, intentando formalizar una nueva noción, la de “infinito absoluto”. ¿Y eso? Dame un poco de tiempo.

El punto de vista que nos da vivir en pleno siglo XXI, en una sociedad laica (ejem ejem), no nos permite entender en qué sentido, un descubrimiento tan genial podría ser considerado herejía o blasfemia hace poco más de 100 años. Comprender esto nos va a permitir evaluar la verdadera magnitud y el calado del descubrimiento de Cantor. Para ello tenemos que retroceder de nuevo a los tiempos de Galileo.

A principios del XVII nace una corriente filosófica que con el tiempo se ha venido en llamar Racionalismo. Es esta la corriente filosófica más matemática de entre todas las corrientes filosóficas, por lo que no es de extrañar que entre sus tres representantes más ilustres haya dos que fueron matemáticos de renombre. La terna en cuestión está formada por: Descartes, que te sonará por aquello del sistema cartesiano, y al cual le debemos una contribución mucho más importante a la matemática: la formalización de "el método" (El discurso del método, Reglas para la dirección de la mente); Leibnitz -este es uno de los más grandes- le debemos el descubrimiento del cálculo diferencial e integral (dicen que junto con Newton); y Spinoza (este es el no matemático). Sobre los pensamientos de estos tres señores se construye, como hemos dicho, la filosofía Racionalista. Esta corriente defiende la duda como el único camino que nos permite conocer la verdad. Para ello se basa en la deducción lógica y razonada de cualquier cuestión observable en nuestro entorno. De hecho, lo que Descartes pretendía, era aplicar métodos geometrícos de demostración (al estilo de Euclides en Los elementos) a cualquier cuestión que fuera filosóficamente planteable. 

Ya sabemos que en esa época (no como ahora) la Iglesia tenía una influencia bastante reseñable en la sociedad. En aquella época, la educación estaba reservada a las clases nobles, las cuales recibían, junto con las lecciones sobre geometría o historia, una fuerte dosis de adiestramiento religioso. Por lo tanto, todas estas personalidades, célebres por haber conseguido contribuir al conocimiento (ya sea en ciencias o en letras), resulta que tenían fuertes convicciones religiosas. Por eso no es de extrañar, que entre los oficios de muchos ellos se encuentre el de Teólogo. Pues bien, Descartes, Leibnitz y Spinoza -por mucho que su filosofía se basara en la deducción euclidiana de cualquier cuestión-, tampoco se libran de estas cadenas. Los tres atendieron a la cuestión moral de la existencia de Dios desde el punto de vista de su filosofía, desde el Racionalismo. Descartes dedica la cuarta parte de su Discurso del Método a exponer las pruebas de la existencia de Dios y del alma humana y Spinoza nos legó su Ética, un tratado sobre moral expuesto en forma de proposición-demostración. Pero quien aquí va a poner luz sobre el tema que estamos planteando es Leibnitz. Monadología es una obra que resume su filosofía y que está expuesta en forma de párrafos lógicos secuenciados de forma que unos se van deduciendo de otros. Pues bien, en el párrafo 53 nos dice Ahora bien, como hay una infinidad de universos posibles en las ideas de Dios y como no puede existir sino sólo uno de ellos, es necesario que exista una razón necesaria de la elección de Dios, la cual le determine a uno antes que a otro. En este párrafo nos está diciendo que la coexistencia de infinitos es contradictoria. Que sólo puede existir un infinito. Puesto que Dios es infinito, Dios existe. En el fondo se está ligando la idea de infinito con la idea de Dios. Ambos son conceptos que trascienden lo humano. La existencia de un único infinito es la prueba definitiva de la existencia de Dios.

Esta pseudo-demostración perdura a través de los años, se asienta dentro de la moral y se va transformando poco a poco (o no tan poco a poco) en firme convicción entre las personalidades ilustradas. ¿Entendemos ahora cómo se siente Cantor cuando un inocente juego se transforma en la demostración formal de que el infinito no es único? Contrarrecíproco: si hay distintos infinitos, entonces Dios no existe. ¿Sería esta la primera frase que pensó cuando su maldita diagonal le dio la razón y consiguió demostrar que en los Reales hay una cantidad incontablemente más grande de números que la simple infinita cantidad de número que hay en los Naturales?

Esta historia que te acabo de contar quizá te resulte absurda, quizá simplemente entretenida o sorprendente. Sin embargo, hay algo que podemos aprender de ella. La genialidad de Cantor no reside únicamente en su capacidad para resolver cuestiones tremendamente complicadas de forma elegante e imaginativa, sino en su capacidad para cuestionarse sus propias convicciones ante una evidencia. Precisamente eso es la matemática. No es simplemente el hacer cálculos complejísimos, sino más bien, la capacidad de dudar, de dudar de uno mismo, de razonar y de vencer el propio fanatismo o la propia convicción en favor del rigor y de la verdad. En esto Cantor fue un gran ejemplo. Quizá no venció, pero siempre luchó.

Como ya sabéis, a veces me gusta comprimir en 1 minuto estas historias. El infinito de Cantor fue el último capítulo de la primera temporada de Matemáticas en 1 minuto y puedes verlo aquí.


Este post forma parte del Carnaval de Matemáticas, que en esta septuagésima séptima edición, también denominada 9.1, está organizado por Rafael Martínez González a través de su blog El mundo de Rafalillo.

miércoles, 23 de mayo de 2018

Directos especiales selectividad (2018)

#11 10 de Junio de 2018

Preguntas (no se incluyen en el guión preguntas subjetivas o de valoración):

#10 09 de Junio de 2018

Preguntas (no se incluyen en el guión preguntas subjetivas o de valoración):

#09 05 de Junio de 2018

Preguntas (no se incluyen en el guión preguntas subjetivas o de valoración):

#08 04 de Junio de 2018

Preguntas (no se incluyen en el guión preguntas subjetivas o de valoración):


#07 02 de Junio de 2018

Preguntas (no se incluyen en el guión preguntas subjetivas o de valoración):


#06 01 de Junio de 2018

Preguntas (no se incluyen en el guión preguntas subjetivas o de valoración):

#05 31 de Mayo de 2018

Preguntas (no se incluyen en el guión preguntas subjetivas o de valoración):

*Ecuación del plano perpendicular a un plano dado y que contiene al eje OX. Determinar el punto de este plano más cercano al origen
*I·A=A, entonces ¿-I·A=-A?
*Representar los límites de una región factible y encontrar los vértices...
*Probabilidad con distribución normal (Teorema central del límite, 60 chopos)
*La recta tangente a la curva y=x^2 en el punto de abscisas x=2 es y=4x-4. Calcula el área limitada por la curva, la recta tangente en x=2 y el eje de abscisas
*Ecuación del plano que contiene a una recta y es paralelo a otra dada
*primitiva de f(x)=[e^(2x)]/[1+e^x] que pasa por (0, 1)
*Determinar los parámetros de una función para que tenga un mínimo en x=3 y pase por (-1, 12)
*Probabilidad: Tabla de contingencia: ejercicio resuelto
*Problema de probabilidad con distribución normal: probabilidad de acceder a una plaza...
*Ecuaciones, vectores normales y vectores directores de los "planos coordenados":OXY, OXY, OYZ
*f(x)=(2x+m)/x, m para que la tangente en x=-3 sea paralela a x-3y+1=0
*Problema con distribución normal: distribución de la media muestral. Ejercicio resuelto.
*Potencia n-ésima de una matriz
*Derivada de una función potencial-exponencial y=(3x)^(2x)
*f(x)=(6-x)e^(x/3). Dominio, asíntotas y corte con los ejes.
*Problema de funciones elementales. Plantear una función del tipo exponencial.
*Límite (x a 0) de (asinx-xe^x)/(x^2) determinar el valor de a para que el límite sea finito y el valor de dicho límite
*Problema un poco extraño de probabilidad (diagrama de arbol) (o extraño o que no lo he entendido bien)
*Calculo de probabilidades en una distribución normal. Ejercicio.
*Determinante utilizando las propiedades
*Determinar valores de un parámetro para que dos planos sean perpendiculares entre si. Determinar valores de un parámetro para que una recta sea paralela a un plano.
*¿cos(90-alpha)=sin(alpha) cuando estamos calculando ángulos entre variedades?







En el directo ordinario del miércoles del 30 de Mayo también hubo muchas preguntas de selectividad. Puedes ojear el guión aquí.

#04 29 de Mayo de 2018

Preguntas (no se incluyen en el guión preguntas subjetivas o de valoración):

*Integral racional (Andalucía Junio 2015, Matemáticas II, Opción A)
*Encontrar un valor de una parámetro 'a' para que cierto sistema sea compatible determinado
*Derivabilidad de una función definida a trozos dependiente de los valores de dos parámetros utilizando la definición de derivada
*Área entre dos curvas (Andalucía 2017 Reserva 3, Matemáticas 2 Opción B)
*Represenación gráfica de -[-x] (parte entera)
*Cálculo de una primitiva por cambio de variable (Andalucía 2017, Matemáticas II, Reserva 2, Opción B)
*Determinar valores de dos parámetros para que una función definida a trozos sea continua en R. Estudiar su derivabilidad para estos dos valores.
*Posición relativa entre tres planos
*límite (x a 0) de xlnx
*Indeterminación infinito-infinito (raíces)
*Límite (x a inf) raiz(1-x^3)-raiz(x^4+2)... no es indeterminación!
*Corrección (finalización) del problema de probabilidad de los científicos de ayer
*Problema de optimización: dimensiones de un cilindro de volumen máximo dentro de una esfera de radio 1
*lim (x a 0) de [sen2x+(1-x)^2-1]/ln(cosx)
*lim (x a inf) de raiz(2x+raiz(2x))-raiz(2x)

Resuelve todas tus dudas de matemáticas.Pregunta en directo. Hoy, especial selectividad.


#03 28 de Mayo de 2018

Preguntas (no se incluyen en el guión preguntas subjetivas o de valoración):

*Problema de distribución de la media muestral (aplicación del teorema central del límite)
*Problema probabilidad (diagrama de árbol)
*Problema optimización de funciones: Maximizar superficie de escritura en una cartulina con una superficie dada
*Problema de probabilidad de sucesos
*Distribución normal: Calcular el valor que deja por debajo un 33% de la población.
*Estudiar el crecimiento de una función y encontrar un intervalo de longitud 1 donde se anula (th. de Bolzano)
*Integral: int[xln(x^2+1)]dx
*Calculo de probabilidades (tabla de contingencia)
*Otro problema con tabla de contingencia.
*lim (x a 0) de raiz(x)*ln(x)/2^x
*Problema de optimización de funciones: punto de la parábola más cercano al origen...
*Problema de probabilidad (diagrama de árbol)
*Otro problema con diagrama de árbol (nivel alto)
*Problema de probabilidad distribución hipergeométrica enfocado desde el punto de vista de las técnicas de conteo...

Resuelve todas tus dudas de matemáticas.Pregunta en directo. Hoy, especial selectividad.


#02 24 de Mayo de 2018

Preguntas (no se incluyen en el guión preguntas subjetivas o de valoración):

*Distancia entre un punto y una recta.
*Distancia entre dos rectas.
*Integral definida del tipo racional int[(x^2+1)/(x+1)^2]dx
*Dada la función y=sen x, halla un punto en el intervalo (0,pi/2) en el que la recta tangente sea paralela a la cuerda que pasa por (0,0) y (pi/2,1).
*Ejercicio de distribución binomial.
*Continuidad de una función definida a trozos (un caso bastante raro)
*Plano que contiene a una recta y es paralela a otra (Selectividad, Andalucía, MII, 2014)
*Derivabilidad de la función f(x)=|x-1|-x
*Calcular valores de los parámetros m, n para que la recta esté contenida en el plano.
*Límite x-->0 de la función f(x)=(arctgx-x)/(2x-arcsenx)
*Ejercicio Selectividad Cataluña Junio 2016, Ejercicio 1
*Problema de optimización de funciones. Sea la parábola y=x^2-4x+4, y un punto (p,q) sobre ella con 0 menor o igual p menor o igual 2, formamos un rectángulo con lados paralelos a los ejes, con vértices opuestos (0,0) y (p,q).

*Fin de la emisión por problemas técnicos :(

En el directo ordinario del miércoles del 23 de Mayo también hubo muchas preguntas de selectividad. Puedes ojear el guión aquí.

#01 22 de Mayo de 2018

Preguntas (no se incluyen en el guión preguntas subjetivas o de valoración):

*Mini presentación.
*Perpendicular común a dos rectas dadas.
*¿Son incompatibles la asíntota horizontal y la asíntota oblícua?
*Límite con indeterminación infinito-infinito
*Dominio de una función
*¿Por qué la fórmula de la binomial es esa?
*Cálculo de la primitiva int(2(2x^2+2)^3)dx
*Integral ¿imposible?
*Integral por transformación de funciones que desemboque en un arcoseno... (sin hacer, sólo propuesta de solución, en deuda para próximos directos si se diera el caso)
*Cálculo de la primitiva int[2x^4/(x-1)^3]dx
*Algo sobre optimización de funciones...
*Notas sobre sucesos independientes.
*Sistema compatible indeterminado por medio de la regla de Cramer.

miércoles, 2 de mayo de 2018

DIRECTOS MAYO

Para que la entrada de los directos no vaya quedando demasiado atrás en la línea de tiempo, cada mes voy a publicarla como una nueva entrada. Tenéis disponibles las fechas de los directos programados para el mes y los enlaces a los directos ya emitidos con un guión/resumen de las preguntas que se plantearon. Puedes pinchar sobre cualquier directo para acceder al vídeo.

DIRECTO 30 MAYO 2018

  • P(X<a)=P(X>-a)?
  • int([raiz(x)/(1+raiz(x))]dx
  • ¿Al tomar una matriz de orden 2 de una matriz de orden 3 (para calcular el rango) pueden estar los elementos separados (en la matriz original)?
  • Núcleo e imagen de una aplicación lineal de R3 a R2.
  • Cómo representar la ecuación de la recta. Tabla de valores.
  • Problema de selectividad Pais Vasco Junio 2017 ccss. Optimización de funciones.
  • Problema de cálculo de probabilidades con distribución normal.
  • Problema de distribuciones de probabilidad (binomial)
  • Pasar una recta en el espacio, de general a paramétrica.
  • ¿Por qué funciona el método de Gauss si estamos en geometría?
  • Límite [x a infinito] de (x^2-x)/(x-5)+ax+k =0
  • Límite [x a 1] de (cos(pix)+2^x)^(1/lnx).... se resuelve de dos formas?
  • Por qué para maximizar el valor de la pendiente utilizo la segunda derivada?
  • Cómo distingo en integración un arctg y un ln?
  • Cómo se si una función tiene asíntota vertical?
  • Determinación de un intervalo de confianza.
  • ¿Cómo resuelvo una ecuación que tenga valores absolutos?
  • Problema de probabilidad total y teorema de Bayes (diagrama de árbol)


DIRECTO 23 MAYO 2018

  • Estudio de la convergencia de una serie alternada (criterio del cociente)
  • Límite indeterminación 0/0 por l'hopital: f(x)=xsinx/log(1+x^2)
  • Notas sobre transformaciones lineales (cómo encontrar la imagen de variedades afines a través de una aplicación lineal)
  • Cómo saber con qué serie comparar cuando aplicamos el criterio de comparación en el estudio de la convergencia de series numéricas
  • Integral definida entre 0 y pi/4: int(xsinx)dx
  • Notas sobre ordenes de convergencia de funciones: ln x<<x^a<<a^x
  • Estudio de la convergencia de la serie an=10^x/x^nx
  • Corte con los ejes y asíntota oblícua de la función f(x)=x^3/(x-1)^2
  • Demostrar que n·r^n converge a 0 si r<1
  • Ejercicio de áreas del examen de selectividad de Andalucía año 2015 Matemáticas II (Reserva 4, Ejercicio 2, Opción B): determinar el valor del parámetro a>1 para que el área entre y=-x^2+ax e y=x sea 4/3.
  • Ejercicio de áreas del examen de selectividad de Andalucía año 2015 Matemáticas II (Reserva 3, Ejercicio 2, Opción B): área de la región delimitada por f(x)=raíz(2x) y g(x)=x^2/2
  • Comentarios sobre límites en el infinito de una función exponencial.
  • Representar aproximadamente (asíntotas e intervalos de crecimiento y decrecimiento) la función f(x)=x/(e^x-1)


A PARTIR DEL 22 DE MAYO EMPIEZAN LOS ESPECIALES SELECTIVIDAD: PREGUNTAS Y FECHAS AQUÍ


DIRECTO 16 MAYO 2018

  • Corrección del error del ejercicio 4c del examen de selectividad de Madrid, Matemáticas II, Modelo 2018 A: Probabilidad condicionada en una distribución normal.
  • Integral de una potencia décima: inmediata.
  • Convergencia de una serie: criterio de la raíz.
  • Integral de una función con una raíz cúbica dividiendo: transformación de funciones.
  • Calcular parámetros a y b de una función conocidos un máximo y un punto de inflexión de la función.
  • ¿Por qué 1^infinito es indeterminación y no 1?
  • Determinar parámetros a, b y c de una función conocidos un máximo, un punto de inflexión de la función y un punto por el que pasa la función.
  • Límite (x-->0+) raiz(x)ln(x)/2^x
  • Calcular el nivel de confianza para el cual se ha calculado un intervalo de confianza.
  • Determinar los parámetros a y b para que una función definida a trozos sea continua sabiendo además que f(2)=3
  • Cálculo de probabilidades en una distribución de la media muestral.
  • Raíz cúbica de un cociente de números complejos.
  • Planteamiento de un problema de ecuaciones lineales (edades) con 3 incognitas.
  • Expresar sucesos en notación de conjuntos.
  • Área delimitada por una curva y el eje OX.


DIRECTO 09 MAYO 2018+RECONEXIÓN

En dos partes por problemas de conexión debido a la tormenta :) Temas que se tratan:
Primera parte:
  • Cálculo de probabilidades con una distribución hipergeométrica
  • Matriz asociada a un cambio de base
  • Integral (x^3·lnx)dx
Segunda parte:
  • Terminamos integral anterior
  • Cómo sabemos si dos rectas en el espacio están en el mismo plano
  • Límite indeterminación inf-inf
  • Integral (1/raiz(x)-x)dx
  • Cálculo de probabilidades. Diagrama de árbol. Devolvemos tres libros al azar, cuál es la probabilidad de que alguno esté en su lugar correcto.
  • Distribución binomial. La probabilidad de que llueva es 73/365, cuál es la probabilidad de que en una semana llueva más de 2 días.
  • Integral arcoseno (como apañar para resolverla inmediata)
  • Cómo distingo diagrama de árbol o tabla de contingencia
  • Dominio de una función del tipo f(x)^g(x) donde f y g son racionales.
  • Cómo distingo teorema de la probabilidad total y teorema de Bayes. 
DIRECTO 02 MAYO 2018

  • Hasta el minuto 18 divagaciones varias
  • Cálculo integral: volumen entre esfera y paraboloide. Coordenadas cartesianas. Coordenadas cilíndricas.
  • Límites: Valores de a y b para que cierto límite valga 4. Indeterminación tipo inf- inf.
  • Límites: indeterminación del tipo 0/0
  • Derivadas: Cálculo de una derivada "larga"


DIRECTO 25 ABRIL 2018
  • ¿Por qué hay que cuando tenemos varias filas que se descomponen como suma de dos o más elementos hay que "separarlas de una en una" al aplicar las propiedades de los determinantes?
  • Calcular la recta que es paralela a una dada y que corta a otras dos rectas dadas. Ejercicio selectividad Matemáticas II, Andalucía 2013. Dos métodos.

DIRECTO 18 ABRIL 2018
  • Integral del examen de selectividad de Castilla y León Modelo 0 2018.
  • ¿Por qué se factoriza en números primos?
  • Aproximación de una integral por medio de una suma de Riemann subdividiendo el intervalo en cuatro subintervalos.
  • Distancia recorrida por una rueda de diámetro determinado al girar una cantidad de vueltas concreta.
  • Rango de una función exponencial
  • Cálculo de una integral definida por medio de una suma de Riemann.
  • ¿Por qué no se pone el igual al calcular la derivada de una función definida a trozos?

DIRECTO 11 ABRIL 2018: CANCELADO

DIRECTO 4 ABRIL 2018
  • Cómo se resuelve x^x=4
  • Cómo se dibuja un campo vectorial. Ejemplo propuesto: F(x,y)=xi-yj
  • Aclaración sobre planteamiento de un problema de optimización con restricciones de igualdad: Cómo obtener los ejes de la elipse que surge de la intersección entre x^2+y^2+2z^2=605 y 2x+y+z=0.
  • Cómo se calcula la matriz Jacobiana del cambio a coordenadas polares.ç
  • Integral trigonométrica: int(sin^3 x/cos^4 x)dx
  • Por qué se utiliza una "esfera" para definir los extremos relativos en R3?
¿DIRECTO 28 MARZO 2018? ¿SEMANA SANTA? No habrá directo

¿DIRECTO 21 MARZO 2018? ¿SEMANA SANTA? No habrá directo

DIRECTO 14 MARZO 2018
  • Trigonometría: cálculo de un cateto, conocidos un cateto y un ángulo.
  • Trigonometría: ¿cómo aplico trigonometría cuando el triángulo no es rectángulo?
  • Números complejos: calcular los seis vértices de un hexágono, conocido el valor de uno de ellos.
  • Geometría: calcular la ecuación de la circunferencia, conocidos el centro y un punto.
  • Álgebra (matrices): Calcular una matriz A, sabiendo que es simétrica y conocida su matriz de adjuntos.
  • Probabilidad: problema relacionado con la distribución de Poisson.
  • Cálculo: Optimización con restricciones de igualdad en R2.
DIRECTO 7 MARZO 2018
  • Problema de series: encontrar la sucesión que describe el área ciertos triángulos y calcular su suma infinita.
  • Calcular el área del recinto limitado por la curva de una función definida a trozos y el eje OX.
  • Calcular la potencia n-ésima de una matriz.
  • Calcular un vector perpendicular a dos vectores dados y de un tamaño predefinido.
  • Resolver una indeterminación del tipo inf^0
  • Calcular la primitiva de una función con raíces de distinto indice.
DIRECTO 28 FEBRERO 2018
  • Integral definida (cambio de variable y por partes).
  • Asíntotas horizontales y puntos de inflexión de una función exponencial.
  • Integral de un producto (por partes) entre polinomio y logarítmica.
  • Derivada del logaritmo de la raíz de un cociente.
  • Determinar los parámetros de una función para que esta cumpla ciertas condiciones (extremos relativos)
DIRECTO 21 FEBRERO 2018
  • Simplificación máxima de expresiones algebraicas.
  • Resolución de una integral de dificultad alta y planteamiento de otra.
  • Problema de probabilidad muy molón, tan molón que hice vídeo propio formalizándolo mejor.
  • Representación gráfica e interpretación de una función.
  • Estudio de la continuidad, y estudio de los extremos relativos e intervalos de crecimiento de una función definida a trozos.
  • Problema de números complejos: "demostrar la cualidad de un número complejo u que hace que para todo número complejo z, suceda que zzu y zu² son las soluciones de una raíz cúbica". 
DIRECTO 14 FEBRERO 2018
  • Determinante de matrices de orden 4 o mayor.
  • Derivabilidad de una función definida a trozos.
  • Ejercicio sobre subespacios vectoriales: "tengo un subespacio V ={(x1, x2, x3, x4) ∈ R4 : x1 −x2 −x3 −x4 = 0} ⊂ R4 y un punto de un final de Algebra dice: Hallar un subespacio S ⊂ R4 de dimensión 2 tal que S ⊂ V (para el subespacio V del enunciado) y otro subespacio W ⊂ R4 tales que S⊕W = R4."
  • Problema de ángulos de la olimpiada de la región de Murcia 2018 (pendiente de la semana pasada).
  • Ecuación matricial e inversa de una matriz.
DIRECTO 07 FEBRERO 2018
  • Ejercicio de propiedades de potencias, forma potencial de una raíz...
  • Cómo resolver sistemas de ecuaciones (2 ecuaciones y 2 incógnitas): sustitución, igualación y reducción.
  • Derivadas de funciones logarítmicas aplicando las propiedades de los logaritmos. 
  • Problema 6 de la olimpiada de murcia 2018 de triángulos. No resuelto. Queda pendiente para el próximo directo.
  • Problema de optimización: dimensiones de un cilindro de 160 litros para minimizar la superficie.
  • Problema de funciones con función exponencial.
  • Cálculo de los valores de un parámetro para que una función cumpla ciertas propiedades (aplicación de las derivadas).
  • Cálculo del área delimitada por una función definida a trozos.
  • Funciones logarítmicas.
  • Crecimiento, decrecimiento, máximos y mínimos de una función definida a trozos.
  • Cálculo de una integral racional con denominador de raíces complejas.
  • Resolución de una ecuación trigonométrica. 
  • Problema 2 (lados de un triángulo en progresión geométrica) de la olimpiada matemática de la fase regional de fecha 19/10/2018.  (Mirar en los comentarios pues anoto otra solución además de la que se propone en el vídeo)
  • Cómo se determina un plano sabiendo que pasa por un punto, es paralelo a una recta dada y perpendicular a un plano determinado. 
  • Diferencia entre calcular un plano paralelo a una recta y un plano que contiene a una recta. 
  • Cómo calcular el punto de corte entre una recta y un plano
  • Optimización ADE UMU: máximo beneficio 
  • Problema selectividad Valencia Julio 2017: corte con los ejes, crecimiento-decrecimiento de una función, área entre dos curvas, área de una curva con el eje OX. 
  • Definición de función inyectiva, sobreyectiva, biyectiva. 
  • Centro y radio de una circunferencia que se obtiene como intersección de una esfera y un plano
  • Problema de programación lineal 
  • Valores de los parámetros de un polinomio para que cumpla ciertas propiedades. 
  • Cálculo de primitivas (separación en fracciones simples) 
  • Valores de un parámetro para que la función tenga un extremo relativo en un punto en concreto. 
  • Pendiente de la ecuación de la recta tangente a una función en un punto.
  • Posiciones relativas y ángulo entre recta y plano 
  • Perpendicular común a dos rectas dadas 
  • Problema de programación lineal 
  • Posición relativa entre tres planos dependiendo de un parámetro. 
  • Problema de ecuaciones lineales (3 ecuaciones y 3 incógnitas) 
  • Punto simétrico a uno dado respecto a una recta.

De este punto en adelante (hacia arriba) parece que me desenvuelvo mejor en los directos y que no quedan tan caóticos. Por lo tanto ya no habrá mas resúmenes. Las preguntas van en orden, así podéis mover la barra de tiempo y moveros a la pregunta que os interese.


  • Examen selectividad Cantabria Junio 2017 opción A.
  • Máximo de una función en un intervalo dado.
  • Ejercicio selectividad Castilla La Mancha Septiembre 2017 (Estadística)
  • Cómo estudiar la continuidad de una función en un punto
  • Si una progresión no es aritmética ni geométrica ¿que es?
  • Derivadas sucesivas de una función compuesta
  • ¿cómo se determina la matriz transpuesta?
  • Extremos relativos de una función en R2.
Y ahora, como siempre te digo, si echas algo en falta, te gustaría comentar algún tema, puntualizar algo o hacer cualquier observación, te animo a que escribas en los comentarios. Todas las propuestas son bienvenidas.

viernes, 20 de abril de 2018

MISCELANEA TEMPORAL

Añado aquí, de forma temporal, enlace a algunos vídeos que aun no pueden ser clasificados de otra forma. Con el tiempo encontraran un sitio más adecuado.

CÁLCULO:

GEOMETRÍA PLANA:
CALCULADORA:






jueves, 5 de abril de 2018

DIRECTOS ABRIL

Para que la entrada de los directos no vaya quedando demasiado atrás en la línea de tiempo, cada mes voy a publicarla como una nueva entrada. Tenéis disponibles las fechas de los directos programados para el mes y los enlaces a los directos ya emitidos con un guión/resumen de las preguntas que se plantearon. Puedes pinchar sobre cualquier directo para acceder al vídeo.

DIRECTO 25 ABRIL 2018

  • ¿Por qué hay que cuando tenemos varias filas que se descomponen como suma de dos o más elementos hay que "separarlas de una en una" al aplicar las propiedades de los determinantes?
  • Calcular la recta que es paralela a una dada y que corta a otras dos rectas dadas. Ejercicio selectividad Matemáticas II, Andalucía 2013.


DIRECTO 18 ABRIL 2018

  • Integral del examen de selectividad de Castilla y León Modelo 0 2018.
  • ¿Por qué se factoriza en números primos?
  • Aproximación de una integral por medio de una suma de Riemann subdividiendo el intervalo en cuatro subintervalos.
  • Distancia recorrida por una rueda de diámetro determinado al girar una cantidad de vueltas concreta.
  • Rango de una función exponencial
  • Cálculo de una integral definida por medio de una suma de Riemann.
  • ¿Por qué no se pone el igual al calcular la derivada de una función definida a trozos?

DIRECTO 11 ABRIL 2018: CANCELADO

DIRECTO 4 ABRIL 2018
  • Cómo se resuelve x^x=4
  • Cómo se dibuja un campo vectorial. Ejemplo propuesto: F(x,y)=xi-yj
  • Aclaración sobre planteamiento de un problema de optimización con restricciones de igualdad: Cómo obtener los ejes de la elipse que surge de la intersección entre x^2+y^2+2z^2=605 y 2x+y+z=0.
  • Cómo se calcula la matriz Jacobiana del cambio a coordenadas polares.ç
  • Integral trigonométrica: int(sin^3 x/cos^4 x)dx
  • Por qué se utiliza una "esfera" para definir los extremos relativos en R3?
¿DIRECTO 28 MARZO 2018? ¿SEMANA SANTA? No habrá directo

¿DIRECTO 21 MARZO 2018? ¿SEMANA SANTA? No habrá directo

DIRECTO 14 MARZO 2018
  • Trigonometría: cálculo de un cateto, conocidos un cateto y un ángulo.
  • Trigonometría: ¿cómo aplico trigonometría cuando el triángulo no es rectángulo?
  • Números complejos: calcular los seis vértices de un hexágono, conocido el valor de uno de ellos.
  • Geometría: calcular la ecuación de la circunferencia, conocidos el centro y un punto.
  • Álgebra (matrices): Calcular una matriz A, sabiendo que es simétrica y conocida su matriz de adjuntos.
  • Probabilidad: problema relacionado con la distribución de Poisson.
  • Cálculo: Optimización con restricciones de igualdad en R2.
DIRECTO 7 MARZO 2018
  • Problema de series: encontrar la sucesión que describe el área ciertos triángulos y calcular su suma infinita.
  • Calcular el área del recinto limitado por la curva de una función definida a trozos y el eje OX.
  • Calcular la potencia n-ésima de una matriz.
  • Calcular un vector perpendicular a dos vectores dados y de un tamaño predefinido.
  • Resolver una indeterminación del tipo inf^0
  • Calcular la primitiva de una función con raíces de distinto indice.
DIRECTO 28 FEBRERO 2018
  • Integral definida (cambio de variable y por partes).
  • Asíntotas horizontales y puntos de inflexión de una función exponencial.
  • Integral de un producto (por partes) entre polinomio y logarítmica.
  • Derivada del logaritmo de la raíz de un cociente.
  • Determinar los parámetros de una función para que esta cumpla ciertas condiciones (extremos relativos)
DIRECTO 21 FEBRERO 2018
  • Simplificación máxima de expresiones algebraicas.
  • Resolución de una integral de dificultad alta y planteamiento de otra.
  • Problema de probabilidad muy molón, tan molón que hice vídeo propio formalizándolo mejor.
  • Representación gráfica e interpretación de una función.
  • Estudio de la continuidad, y estudio de los extremos relativos e intervalos de crecimiento de una función definida a trozos.
  • Problema de números complejos: "demostrar la cualidad de un número complejo u que hace que para todo número complejo z, suceda que zzu y zu² son las soluciones de una raíz cúbica". 
DIRECTO 14 FEBRERO 2018
  • Determinante de matrices de orden 4 o mayor.
  • Derivabilidad de una función definida a trozos.
  • Ejercicio sobre subespacios vectoriales: "tengo un subespacio V ={(x1, x2, x3, x4) ∈ R4 : x1 −x2 −x3 −x4 = 0} ⊂ R4 y un punto de un final de Algebra dice: Hallar un subespacio S ⊂ R4 de dimensión 2 tal que S ⊂ V (para el subespacio V del enunciado) y otro subespacio W ⊂ R4 tales que S⊕W = R4."
  • Problema de ángulos de la olimpiada de la región de Murcia 2018 (pendiente de la semana pasada).
  • Ecuación matricial e inversa de una matriz.
DIRECTO 07 FEBRERO 2018
  • Ejercicio de propiedades de potencias, forma potencial de una raíz...
  • Cómo resolver sistemas de ecuaciones (2 ecuaciones y 2 incógnitas): sustitución, igualación y reducción.
  • Derivadas de funciones logarítmicas aplicando las propiedades de los logaritmos. 
  • Problema 6 de la olimpiada de murcia 2018 de triángulos. No resuelto. Queda pendiente para el próximo directo.
  • Problema de optimización: dimensiones de un cilindro de 160 litros para minimizar la superficie.
  • Problema de funciones con función exponencial.
  • Cálculo de los valores de un parámetro para que una función cumpla ciertas propiedades (aplicación de las derivadas).
  • Cálculo del área delimitada por una función definida a trozos.
  • Funciones logarítmicas.
  • Crecimiento, decrecimiento, máximos y mínimos de una función definida a trozos.
  • Cálculo de una integral racional con denominador de raíces complejas.
  • Resolución de una ecuación trigonométrica. 
  • Problema 2 (lados de un triángulo en progresión geométrica) de la olimpiada matemática de la fase regional de fecha 19/10/2018.  (Mirar en los comentarios pues anoto otra solución además de la que se propone en el vídeo)
  • Cómo se determina un plano sabiendo que pasa por un punto, es paralelo a una recta dada y perpendicular a un plano determinado. 
  • Diferencia entre calcular un plano paralelo a una recta y un plano que contiene a una recta. 
  • Cómo calcular el punto de corte entre una recta y un plano
  • Optimización ADE UMU: máximo beneficio 
  • Problema selectividad Valencia Julio 2017: corte con los ejes, crecimiento-decrecimiento de una función, área entre dos curvas, área de una curva con el eje OX. 
  • Definición de función inyectiva, sobreyectiva, biyectiva. 
  • Centro y radio de una circunferencia que se obtiene como intersección de una esfera y un plano
  • Problema de programación lineal 
  • Valores de los parámetros de un polinomio para que cumpla ciertas propiedades. 
  • Cálculo de primitivas (separación en fracciones simples) 
  • Valores de un parámetro para que la función tenga un extremo relativo en un punto en concreto. 
  • Pendiente de la ecuación de la recta tangente a una función en un punto.
  • Posiciones relativas y ángulo entre recta y plano 
  • Perpendicular común a dos rectas dadas 
  • Problema de programación lineal 
  • Posición relativa entre tres planos dependiendo de un parámetro. 
  • Problema de ecuaciones lineales (3 ecuaciones y 3 incógnitas) 
  • Punto simétrico a uno dado respecto a una recta.

De este punto en adelante (hacia arriba) parece que me desenvuelvo mejor en los directos y que no quedan tan caóticos. Por lo tanto ya no habrá mas resúmenes. Las preguntas van en orden, así podéis mover la barra de tiempo y moveros a la pregunta que os interese.


  • Examen selectividad Cantabria Junio 2017 opción A.
  • Máximo de una función en un intervalo dado.
  • Ejercicio selectividad Castilla La Mancha Septiembre 2017 (Estadística)
  • Cómo estudiar la continuidad de una función en un punto
  • Si una progresión no es aritmética ni geométrica ¿que es?
  • Derivadas sucesivas de una función compuesta
  • ¿cómo se determina la matriz transpuesta?
  • Extremos relativos de una función en R2.
Y ahora, como siempre te digo, si echas algo en falta, te gustaría comentar algún tema, puntualizar algo o hacer cualquier observación, te animo a que escribas en los comentarios. Todas las propuestas son bienvenidas.

martes, 20 de marzo de 2018

CHULETA-ESQUEMA-RESUMEN

Una vez que hemos estudiado los temas en profundidad y practicado los ejercicios de forma concienzuda siempre es conveniente hacernos un esquema que nos ayude a ordenar y fijar las ideas. Eso es lo que hacemos en estos vídeos. Una chuleta con las ideas más importantes de cada tema.

CHULETA 1: CÁLCULO: CONTINUIDAD Y DIFERENCIABILIDAD EN R2. Continuidad, límites (iterados, aproximación por rectas, reducción al (0,0), aproximación por trayectorias curvas, cambio a polares, demostración por definición, criterio de la función mayorante), derivadas parciales (gradiente, plano tangente), derivadas direccionales, función diferenciable e implicaciones notables. Formulario en pdf.

CHULETA 2: EDO: DE PRIMER ORDEN EN FORMA EXPLÍCITA. Variables separables, reducibles a separables, homogéneas, reducibles a homogéneas (rectas secantes y rectas paralelas), exactas, reducibles a exactas (factores integrantes), lineales y reducibles a lineales (Bernoulli y Riccati). Formulario en pdf.


CHULETA 3: EDO LINEALES DE ORDEN n. Definiciones y notación, coeficientes constantes, homogénea asociada, forma de la solución particular, método de coeficientes constantes y método de variación de parámetros. Formulario en pdf.

CHULETA 4: CLASIFICACIÓN DE FORMAS CUADRÁTICAS. Método de Gauss de diagonalización, valores propios, menores principales. Formulario en pdf.

CHULETA 5: BÁSICOS DE GEOMETRÍA ESPACIAL. ECUACIONES Y POSICIONES RELATIVAS. ESPECIAL SELECTIVIDAD. Ecuaciones de la recta en el espacio. Ecuaciones del plano en el espacio. Posiciones relativas: dos planos, tres planos, recta vs plano, recta vs recta (dos métodos). Formulario en pdf.

CHULETA 6: GEOMETRÍA MÉTRICA: DISTANCIAS Y ÁNGULOS. ESPECIAL SELECTIVIDAD. Productos entres vectores: escalar, vectorial y mixto. Áreas y volúmenes. Ángulos. Distancias. Formulario en pdf.

CHULETA 7: PROBABILIDAD. ESPECIAL SELECTIVIDAD. Notación y operaciones. Formulas básicas: Probabilidad de la unión y probabilidad condicionada. Leyes de DeMorgan. Teorema de la probabilidad total. Teorema de Bayes. Tablas de contingencia. Diagrama de árbol. Formulario en pdf.

CHULETA 8: INFERENCIA ESTADÍSTICA. ESPECIAL SELECTIVIDAD. Teorema central del límite. Distribuciones de la media muestral, proporción muestral y diferencia de medias. Error máximo admisible. Intervalos de confianza. Formulario en pdf.

CHULETA 9: PROBABILIDAD. DISTRIBUCIÓN BINOMIAL Y NORMAL. Experimento de Bernoulli. Distribución binomial. Distribución normal. Aproximación de la binomial por una normal: corrección de yates. Formulario en pdf.

CHULETA 10: PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES. Formulario en pfd.

CHULETA 11: TEOREMAS DEL CÁLCULO PARA FUNCIONES CONTINUAS. Bolzano, Darboux, Weierstrass, Rolle, Lagrange, TVI cálculo integral, primer teorema fundamental del cálculo integral y segundo teorema del cálculo integral (Barrow). Formulario en pdf. Interpretación gráfica en pdf.

CHULETA 12: ESTUDIO COMPLETO Y REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN.  Dominio y continuidad. Simetría. Corte con los ejes y regiones. Asíntotas. Monotonía y extremos relativos. Curvatura y puntos de inflexión. Representación. Imagen. Formulario en pdf.

CHULETA: CÓNICAS. Expresión matricial, polinomio característico, invariantes, forma reducida, clasificación proyectiva y clasificación afín.

CHULETA:CUÁDRICAS. Expresión matricial, polinomio característico, invariantes, forma reducida, clasificación proyectiva y clasificación afín.

CHULETA: DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS. Función de densidad (de probabilidad). Función de distribución. Función generatriz de momentos. Distribución de Bernoulli, binomial, de Poisson, multinomial, uniforme, hipergeométrica, de Pascal y binomial negativa. Esperanza y varianza.

CHULETA: DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD CONTINUAS. Función de densidad. Función de distribución. Función generatriz de momentos. Distribución uniforme, exponencial, normal, gamma. Esperanza y varianza.