GUÍA COMPLETA PARA RESOLVER ECUACIONES DIFERENCIALES

Vamos a organizarnos por tipos: Ecuaciones diferenciales de primer orden en forma explícita, de primer orden en forma implícita, lineales de orden n, y de orden n (en general).

La idea es completar el tema de ecuaciones diferenciales con la resolución de sistemas de ecuaciones diferenciales y con otras herramientas relacionadas (transformada de Laplace, análisis cualitativo de las soluciones, trayectorias ortogonales, problemas con modelos EDO y quizá ecuaciones en derivadas parciales, ecuaciones en diferencias y métodos numéricos de resolución), pero poco a poco :)

Si cuando estás leyendo esta entrada, aún no tienes enlace en todos los vídeos, te pido un poco de paciencia, porque son muchos vídeos y cargarlos online no me resulta tan inmediato. Iré cargando uno o dos al día hasta completar la serie que se lista a continuación.

ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN 1 EN FORMA EXPLÍCITA: y'=f(x,y)

Introducción teórica: Ecuaciones de variables separables (de variables separadas), reducibles a variables separables, homogéneas, reducibles a homogéneas, exactas, reducibles a exactas (con discusión sobre factores integrantes), ecuación lineal de orden 1, ecuación de Bernoulli y ecuación de Riccati.

Ejemplos ilustrativos por tipo:

• Ecuaciones de variables separables y'=g(x)·h(y). En el vídeo se resuelven los problemas: y·y'=sin(x), y·y'=e^x, y'·tan(x)=y
• Reducibles a variables separables y'=f(ax+by). En el vídeo se resuelven los problemas:         y'=(2x+y)²
• Homogéneas y'=f(ky/kx)=f(y/x). En el vídeo se resuelven los problemas:                               xdx-(2xe^-y/x+y)dy=0, (x+y)·y'=2x
• Reducibles a homogéneas y'=f[(ax+by+c)/(Ax+By+C)]. En el vídeo se resuelven los problemas: (x+y+1)·y'=x-y-3, (x+y-1)·y'=2x+2y+1
• Exactas P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 con P_y=Q_x. En el vídeo se resuelven los problemas:             (2xy-sec²x)dx-(x²+2y)dy=0, e^ydx-(xe^y+2y)dy=0
• Reducibles a exactas m(x,y)·P(x,y)dx+m(x,y)·Q(x,y)dy=0. En el vídeo se resuelven los problemas: (x+y)dx+tanxdy=0, (y/x)dx+(y³-lnx)dy=0,
• Ecuación lineal de orden 1 y'+a(x)·y=b(x). En el vídeo se resuelven los problemas:                  y'-y·tan(x)=1, x·y'-2y=x²,
• Ecuación de Bernoulli y'+a(x)·y+b(x)·yⁿ=0. En el vídeo se resuelven los problemas: y'+y/x=x·y², y'-y=x³·y^1/3
• Ecuación de Riccati y'+a(x)·y+b(x)·y²=c(x). En el vídeo se resuelven los problemas:              y'-y²+2xy=y²; y'+2xy=1+x²+y²

Esta parte pide a gritos una chuleta. Si necesitas chuletas de otros temas, aquí.

ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN 1 EN FORMA IMPLÍCITA: F(x,y,y')=0

Introducción teórica: 

Ejemplos ilustrativos por tipo:

• Ecuación polinómica en y'. En el vídeo se resuelven los problemas: 
• Ecuación del tipo y=f(y'). En el vídeo se resuelven los problemas:
• Ecuación de Lagrange. En el vídeo se resuelven los problemas: 
• Ecuación de Clairaut. En el vídeo se resuelven los problemas:
• Ecuación del tipo x=f(y,y'). En el vídeo se resuelven los problemas: 
• Ecuación del tipo F(y,y')=0. En el vídeo se resuelven los problemas: 

ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE ORDEN n CON COEFICIENTES CONSTANTES.

Introducción teórica: Resolución de la homogénea asociada a partir de las soluciones del polinomio característico (soluciones reales simples, reales múltiples y complejas conjugadas). Construcción de la solución particular a partir del tipo de función que aparece como término independiente.

Ejemplos:

• Ecuación lineal de orden 2. Solución de la homogénea asociada a partir de los tipos de solución del polinomio característico asociado: raíces reales simples, raíces reales múltiples o raíces complejas.  En el vídeo se resuelven los problemas: y''+2y'-3y=0; 4y''+4y'+y=0; y''+4y'+5=0.
• Ecuación lineal de orden 2. Solución particular por el método de coeficientes indeterminados. Este método está sujeto a la condición de ser lineal con coeficientes constantes y que el termino independiente tenga una forma particular.  En el vídeo se resuelven los problemas:  y''+2y'-3y=x³; 4y''+4y'+y=xe^x; y''+4y'+5=e^xcosx;
• Ecuación lineal de orden 3. Solución general de una ecuación diferencial lineal completa con coeficientes constantes por el método de coeficientes indeterminados. En el vídeo se resuelve: y'''-y''+2y'-2y=x+e^x;
• Ecuación lineal de orden 5. Solución general de una ecuación diferencial lineal completa con coeficientes constantes por el método de coeficientes indeterminados. En el vídeo se resuelve: y^v-6y^iv+14y'''+9y'-27=x; 
• Ecuación lineal de orden 3. Solución general de una ecuación diferencial lineal completa con coeficientes constantes por el método de variación de parámetros. En el vídeo se resuelve: y'''-3y''+2y'=e^x/(1+e^-x)
• Ecuación lineal de orden 2. Solución general de una ecuación diferencial lineal con coeficientes variables por el método de variación de parámetros conociendo una única solución particular de la homogénea asociada. (3x+2x²)y''-6(1+x)y'+6y=6

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ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN n EN LAS QUE SE REDUCE EL ORDEN: F(x,y,y',...,y⁽ⁿ⁾)=0

PROBLEMA DE CAUCHY: ó problema de valores iniciales (PVI) trata de resolver una ecuación diferencial de cualquier tipo, sujeta a ciertas condiciones iniciales. En el vídeo se resuelven: y''+2y'-3y=x, y(0)=0, y'(0)=1; y'=2xcos²x, y(0)=pi/2

TRAYECTORIAS ORTOGONALES: En este vídeo os cuento qué son las trayectorias ortogonales a una familia de curvas dada, cómo se calculan y para qué sirven. Ilustramos esto con un ejemplo no muy típico.

RESOLUCIÓN GRÁFICA DE UNA EDO EXPLÍCITA: Aunque esto es un problema que suele resolverse con el apoyo de un ordenador, en este ejemplo sencillo os enseño a representar gráficamente las soluciones de una ecuación diferencial (en forma explicita) y discutimos cómo se interpretan las isóclinas y el campo de direcciones.

MODELOS BASADOS EN EDO DE PRIMER ORDEN:

• Dinámica de poblaciones.
• Mezclas: "Un mecánico se quiere suicidar..." (Variación en la concentración de Dióxido de Carbono). 
• Ley de enfriamiento de Newton.
• Desintegración radiactiva.

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