CHULETA-ESQUEMA-RESUMEN

Una vez que hemos estudiado los temas en profundidad y practicado los ejercicios de forma concienzuda siempre es conveniente hacernos un esquema que nos ayude a ordenar y fijar las ideas. Eso es lo que hacemos en estos vídeos. Una chuleta con las ideas más importantes de cada tema.

CHULETA 1: CÁLCULO: CONTINUIDAD Y DIFERENCIABILIDAD EN R2. Continuidad, límites (iterados, aproximación por rectas, reducción al (0,0), aproximación por trayectorias curvas, cambio a polares, demostración por definición, criterio de la función mayorante), derivadas parciales (gradiente, plano tangente), derivadas direccionales, función diferenciable e implicaciones notables. Formulario en pdf.

CHULETA 2: EDO: DE PRIMER ORDEN EN FORMA EXPLÍCITA. Variables separables, reducibles a separables, homogéneas, reducibles a homogéneas (rectas secantes y rectas paralelas), exactas, reducibles a exactas (factores integrantes), lineales y reducibles a lineales (Bernoulli y Riccati). Formulario en pdf.

CHULETA 3: EDO LINEALES DE ORDEN n. Definiciones y notación, coeficientes constantes, homogénea asociada, forma de la solución particular, método de coeficientes constantes y método de variación de parámetros. Formulario en pdf.

CHULETA 4: CLASIFICACIÓN DE FORMAS CUADRÁTICAS. Método de Gauss de diagonalización, valores propios, menores principales. Formulario en pdf.




CHULETA 5: BÁSICOS DE GEOMETRÍA ESPACIAL. ECUACIONES Y POSICIONES RELATIVAS. ESPECIAL SELECTIVIDAD. Ecuaciones de la recta en el espacio. Ecuaciones del plano en el espacio. Posiciones relativas: dos planos, tres planos, recta vs plano, recta vs recta (dos métodos). Formulario en pdf.




CHULETA 6: GEOMETRÍA MÉTRICA: DISTANCIAS Y ÁNGULOS. ESPECIAL SELECTIVIDAD. Productos entres vectores: escalar, vectorial y mixto. Áreas y volúmenes. Ángulos. Distancias. Formulario en pdf.




CHULETA 7: PROBABILIDAD. ESPECIAL SELECTIVIDAD. Notación y operaciones. Formulas básicas: Probabilidad de la unión y probabilidad condicionada. Leyes de DeMorgan. Teorema de la probabilidad total. Teorema de Bayes. Tablas de contingencia. Diagrama de árbol. Formulario en pdf.




CHULETA 8: INFERENCIA ESTADÍSTICA. ESPECIAL SELECTIVIDAD. Teorema central del límite. Distribuciones de la media muestral, proporción muestral y diferencia de medias. Error máximo admisible. Intervalos de confianza. Formulario en pdf.

CHULETA 9: PROBABILIDAD. DISTRIBUCIÓN BINOMIAL Y NORMAL. Experimento de Bernoulli. Distribución binomial. Distribución normal. Aproximación de la binomial por una normal: corrección de yates. Formulario en pdf.




CHULETA 10: PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES. Formulario en pfd.




CHULETA 11: TEOREMAS DEL CÁLCULO PARA FUNCIONES CONTINUAS. Bolzano, Darboux, Weierstrass, Rolle, Lagrange, TVI cálculo integral, primer teorema fundamental del cálculo integral y segundo teorema del cálculo integral (Barrow). Formulario en pdf. Interpretación gráfica en pdf.





CHULETA 12: ESTUDIO COMPLETO Y REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN.  Dominio y continuidad. Simetría. Corte con los ejes y regiones. Asíntotas. Monotonía y extremos relativos. Curvatura y puntos de inflexión. Representación. Imagen. Formulario en pdf.

CHULETA: CÓNICAS. Expresión matricial, polinomio característico, invariantes, forma reducida, clasificación proyectiva y clasificación afín.

CHULETA:CUÁDRICAS. Expresión matricial, polinomio característico, invariantes, forma reducida, clasificación proyectiva y clasificación afín.

CHULETA: DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS. Función de densidad (de probabilidad). Función de distribución. Función generatriz de momentos. Distribución de Bernoulli, binomial, de Poisson, multinomial, uniforme, hipergeométrica, de Pascal y binomial negativa. Esperanza y varianza.

CHULETA: DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD CONTINUAS. Función de densidad. Función de distribución. Función generatriz de momentos. Distribución uniforme, exponencial, normal, gamma. Esperanza y varianza.

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GUÍA COMPLETA PARA RESOLVER ECUACIONES DIFERENCIALES

Vamos a organizarnos por tipos: Ecuaciones diferenciales de primer orden en forma explícita, de primer orden en forma implícita, lineales de orden n, y de orden n (en general).

La idea es completar el tema de ecuaciones diferenciales con la resolución de sistemas de ecuaciones diferenciales y con otras herramientas relacionadas (transformada de Laplace, análisis cualitativo de las soluciones, trayectorias ortogonales, problemas con modelos EDO y quizá ecuaciones en derivadas parciales, ecuaciones en diferencias y métodos numéricos de resolución), pero poco a poco :)

Si cuando estás leyendo esta entrada, aún no tienes enlace en todos los vídeos, te pido un poco de paciencia, porque son muchos vídeos y cargarlos online no me resulta tan inmediato. Iré cargando uno o dos al día hasta completar la serie que se lista a continuación.

ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN 1 EN FORMA EXPLÍCITA: y'=f(x,y)

Introducción teórica: Ecuaciones de variables separables (de variables separadas), reducibles a variables separables, homogéneas, reducibles a homogéneas, exactas, reducibles a exactas (con discusión sobre factores integrantes), ecuación lineal de orden 1, ecuación de Bernoulli y ecuación de Riccati.

Ejemplos ilustrativos por tipo:

• Ecuaciones de variables separables y'=g(x)·h(y). En el vídeo se resuelven los problemas: y·y'=sin(x), y·y'=e^x, y'·tan(x)=y
• Reducibles a variables separables y'=f(ax+by). En el vídeo se resuelven los problemas:         y'=(2x+y)²
• Homogéneas y'=f(ky/kx)=f(y/x). En el vídeo se resuelven los problemas:                               xdx-(2xe^-y/x+y)dy=0, (x+y)·y'=2x
• Reducibles a homogéneas y'=f[(ax+by+c)/(Ax+By+C)]. En el vídeo se resuelven los problemas: (x+y+1)·y'=x-y-3, (x+y-1)·y'=2x+2y+1
• Exactas P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 con P_y=Q_x. En el vídeo se resuelven los problemas:             (2xy-sec²x)dx-(x²+2y)dy=0, e^ydx-(xe^y+2y)dy=0
• Reducibles a exactas m(x,y)·P(x,y)dx+m(x,y)·Q(x,y)dy=0. En el vídeo se resuelven los problemas: (x+y)dx+tanxdy=0, (y/x)dx+(y³-lnx)dy=0,
• Ecuación lineal de orden 1 y'+a(x)·y=b(x). En el vídeo se resuelven los problemas:                  y'-y·tan(x)=1, x·y'-2y=x²,
• Ecuación de Bernoulli y'+a(x)·y+b(x)·yⁿ=0. En el vídeo se resuelven los problemas: y'+y/x=x·y², y'-y=x³·y^1/3
• Ecuación de Riccati y'+a(x)·y+b(x)·y²=c(x). En el vídeo se resuelven los problemas:              y'-y²+2xy=y²; y'+2xy=1+x²+y²

Esta parte pide a gritos una chuleta. Si necesitas chuletas de otros temas, aquí.

ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN 1 EN FORMA IMPLÍCITA: F(x,y,y')=0

Introducción teórica: 

Ejemplos ilustrativos por tipo:

• Ecuación polinómica en y'. En el vídeo se resuelven los problemas: 
• Ecuación del tipo y=f(y'). En el vídeo se resuelven los problemas:
• Ecuación de Lagrange. En el vídeo se resuelven los problemas: 
• Ecuación de Clairaut. En el vídeo se resuelven los problemas:
• Ecuación del tipo x=f(y,y'). En el vídeo se resuelven los problemas: 
• Ecuación del tipo F(y,y')=0. En el vídeo se resuelven los problemas: 

ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE ORDEN n CON COEFICIENTES CONSTANTES.

Introducción teórica: Resolución de la homogénea asociada a partir de las soluciones del polinomio característico (soluciones reales simples, reales múltiples y complejas conjugadas). Construcción de la solución particular a partir del tipo de función que aparece como término independiente.

Ejemplos:

• Ecuación lineal de orden 2. Solución de la homogénea asociada a partir de los tipos de solución del polinomio característico asociado: raíces reales simples, raíces reales múltiples o raíces complejas.  En el vídeo se resuelven los problemas: y''+2y'-3y=0; 4y''+4y'+y=0; y''+4y'+5=0.
• Ecuación lineal de orden 2. Solución particular por el método de coeficientes indeterminados. Este método está sujeto a la condición de ser lineal con coeficientes constantes y que el termino independiente tenga una forma particular.  En el vídeo se resuelven los problemas:  y''+2y'-3y=x³; 4y''+4y'+y=xe^x; y''+4y'+5=e^xcosx;
• Ecuación lineal de orden 3. Solución general de una ecuación diferencial lineal completa con coeficientes constantes por el método de coeficientes indeterminados. En el vídeo se resuelve: y'''-y''+2y'-2y=x+e^x;
• Ecuación lineal de orden 5. Solución general de una ecuación diferencial lineal completa con coeficientes constantes por el método de coeficientes indeterminados. En el vídeo se resuelve: y^v-6y^iv+14y'''+9y'-27=x; 
• Ecuación lineal de orden 3. Solución general de una ecuación diferencial lineal completa con coeficientes constantes por el método de variación de parámetros. En el vídeo se resuelve: y'''-3y''+2y'=e^x/(1+e^-x)
• Ecuación lineal de orden 2. Solución general de una ecuación diferencial lineal con coeficientes variables por el método de variación de parámetros conociendo una única solución particular de la homogénea asociada. (3x+2x²)y''-6(1+x)y'+6y=6

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ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN n EN LAS QUE SE REDUCE EL ORDEN: F(x,y,y',...,y⁽ⁿ⁾)=0

PROBLEMA DE CAUCHY: ó problema de valores iniciales (PVI) trata de resolver una ecuación diferencial de cualquier tipo, sujeta a ciertas condiciones iniciales. En el vídeo se resuelven: y''+2y'-3y=x, y(0)=0, y'(0)=1; y'=2xcos²x, y(0)=pi/2

TRAYECTORIAS ORTOGONALES: En este vídeo os cuento qué son las trayectorias ortogonales a una familia de curvas dada, cómo se calculan y para qué sirven. Ilustramos esto con un ejemplo no muy típico.

RESOLUCIÓN GRÁFICA DE UNA EDO EXPLÍCITA: Aunque esto es un problema que suele resolverse con el apoyo de un ordenador, en este ejemplo sencillo os enseño a representar gráficamente las soluciones de una ecuación diferencial (en forma explicita) y discutimos cómo se interpretan las isóclinas y el campo de direcciones.

MODELOS BASADOS EN EDO DE PRIMER ORDEN:

• Dinámica de poblaciones.
• Mezclas: "Un mecánico se quiere suicidar..." (Variación en la concentración de Dióxido de Carbono). 
• Ley de enfriamiento de Newton.
• Desintegración radiactiva.

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DIRECTOS MARZO

Para que la entrada de los directos no vaya quedando demasiado atrás en la línea de tiempo, cada mes voy a publicarla como una nueva entrada. Tenéis disponibles las fechas de los directos programados para el mes y los enlaces a los directos ya emitidos con un guión/resumen de las preguntas que se plantearon. Puedes pinchar sobre cualquier directo para acceder al vídeo.


¿DIRECTO 28 MARZO 2018? ¿SEMANA SANTA? No habrá directo

¿DIRECTO 21 MARZO 2018? ¿SEMANA SANTA? No habrá directo

DIRECTO 14 MARZO 2018

• Trigonometría: cálculo de un cateto, conocidos un cateto y un ángulo.
• Trigonometría: ¿cómo aplico trigonometría cuando el triángulo no es rectángulo?
• Números complejos: calcular los seis vértices de un hexágono, conocido el valor de uno de ellos.
• Geometría: calcular la ecuación de la circunferencia, conocidos el centro y un punto.
• Álgebra (matrices): Calcular una matriz A, sabiendo que es simétrica y conocida su matriz de adjuntos.
• Probabilidad: problema relacionado con la distribución de Poisson.
• Cálculo: Optimización con restricciones de igualdad en R2.

DIRECTO 7 MARZO 2018

• Problema de series: encontrar la sucesión que describe el área ciertos triángulos y calcular su suma infinita.
• Calcular el área del recinto limitado por la curva de una función definida a trozos y el eje OX.
• Calcular la potencia n-ésima de una matriz.
• Calcular un vector perpendicular a dos vectores dados y de un tamaño predefinido.
• Resolver una indeterminación del tipo inf^0
• Calcular la primitiva de una función con raíces de distinto indice.

DIRECTO 28 FEBRERO 2018

• Integral definida (cambio de variable y por partes).
• Asíntotas horizontales y puntos de inflexión de una función exponencial.
• Integral de un producto (por partes) entre polinomio y logarítmica.
• Derivada del logaritmo de la raíz de un cociente.
• Determinar los parámetros de una función para que esta cumpla ciertas condiciones (extremos relativos)

DIRECTO 21 FEBRERO 2018

• Simplificación máxima de expresiones algebraicas.
• Resolución de una integral de dificultad alta y planteamiento de otra.
• Problema de probabilidad muy molón, tan molón que hice vídeo propio formalizándolo mejor.
• Representación gráfica e interpretación de una función.
• Estudio de la continuidad, y estudio de los extremos relativos e intervalos de crecimiento de una función definida a trozos.
• Problema de números complejos: "demostrar la cualidad de un número complejo u que hace que para todo número complejo z, suceda que z, zu y zu² son las soluciones de una raíz cúbica". 

DIRECTO 14 FEBRERO 2018

• Determinante de matrices de orden 4 o mayor.
• Derivabilidad de una función definida a trozos.
• Ejercicio sobre subespacios vectoriales: "tengo un subespacio V ={(x1, x2, x3, x4) ∈ R4 : x1 −x2 −x3 −x4 = 0} ⊂ R4 y un punto de un final de Algebra dice: Hallar un subespacio S ⊂ R4 de dimensión 2 tal que S ⊂ V (para el subespacio V del enunciado) y otro subespacio W ⊂ R4 tales que S⊕W = R4."
• Problema de ángulos de la olimpiada de la región de Murcia 2018 (pendiente de la semana pasada).
• Ecuación matricial e inversa de una matriz.

DIRECTO 07 FEBRERO 2018

• Ejercicio de propiedades de potencias, forma potencial de una raíz...
• Cómo resolver sistemas de ecuaciones (2 ecuaciones y 2 incógnitas): sustitución, igualación y reducción.
• Derivadas de funciones logarítmicas aplicando las propiedades de los logaritmos. 
• Problema 6 de la olimpiada de murcia 2018 de triángulos. No resuelto. Queda pendiente para el próximo directo.
• Problema de optimización: dimensiones de un cilindro de 160 litros para minimizar la superficie.

DIRECTO 31 ENERO 2018

• Problema de funciones con función exponencial.
• Cálculo de los valores de un parámetro para que una función cumpla ciertas propiedades (aplicación de las derivadas).
• Cálculo del área delimitada por una función definida a trozos.
• Funciones logarítmicas.
• Crecimiento, decrecimiento, máximos y mínimos de una función definida a trozos.

DIRECTO 24 ENERO 2018

• Cálculo de una integral racional con denominador de raíces complejas.
• Resolución de una ecuación trigonométrica. 
• Problema 2 (lados de un triángulo en progresión geométrica) de la olimpiada matemática de la fase regional de fecha 19/10/2018.  (Mirar en los comentarios pues anoto otra solución además de la que se propone en el vídeo)
• Cómo se determina un plano sabiendo que pasa por un punto, es paralelo a una recta dada y perpendicular a un plano determinado. 
• Diferencia entre calcular un plano paralelo a una recta y un plano que contiene a una recta. 
• Cómo calcular el punto de corte entre una recta y un plano

DIRECTO 17 ENERO 2018

• Optimización ADE UMU: máximo beneficio 
• Problema selectividad Valencia Julio 2017: corte con los ejes, crecimiento-decrecimiento de una función, área entre dos curvas, área de una curva con el eje OX. 
• Definición de función inyectiva, sobreyectiva, biyectiva. 
• Centro y radio de una circunferencia que se obtiene como intersección de una esfera y un plano

DIRECTO 10 ENERO 2018

• Problema de programación lineal 
• Valores de los parámetros de un polinomio para que cumpla ciertas propiedades. 
• Cálculo de primitivas (separación en fracciones simples) 
• Valores de un parámetro para que la función tenga un extremo relativo en un punto en concreto. 
• Pendiente de la ecuación de la recta tangente a una función en un punto.

DIRECTO 18 DICIEMBRE 2018

• Posiciones relativas y ángulo entre recta y plano 
• Perpendicular común a dos rectas dadas 
• Problema de programación lineal 
• Posición relativa entre tres planos dependiendo de un parámetro. 
• Problema de ecuaciones lineales (3 ecuaciones y 3 incógnitas) 
• Punto simétrico a uno dado respecto a una recta.

De este punto en adelante (hacia arriba) parece que me desenvuelvo mejor en los directos y que no quedan tan caóticos. Por lo tanto ya no habrá mas resúmenes. Las preguntas van en orden, así podéis mover la barra de tiempo y moveros a la pregunta que os interese.

DIRECTO 06 DICIEMBRE 2018 (resumen)

• Examen selectividad Cantabria Junio 2017 opción A.

DIRECTO 29 NOVIEMBRE 2018 (resumen)

• Máximo de una función en un intervalo dado.
• Ejercicio selectividad Castilla La Mancha Septiembre 2017 (Estadística)
• Cómo estudiar la continuidad de una función en un punto

DIRECTO 22 NOVIEMBRE 2018 (resumen)

• Si una progresión no es aritmética ni geométrica ¿que es?
• Derivadas sucesivas de una función compuesta
• ¿cómo se determina la matriz transpuesta?
• Extremos relativos de una función en R2.

Y ahora, como siempre te digo, si echas algo en falta, te gustaría comentar algún tema, puntualizar algo o hacer cualquier observación, te animo a que escribas en los comentarios. Todas las propuestas son bienvenidas.