Guía para aprender integración

Sucede que aprender a integrar es una de las tareas, creo, más complicadas a las que se enfrenta un estudiante en la materia. Contrariamente a lo que sucede con la derivación de funciones, donde, por complicada que parezca, se puede derivar cualquier función, en la integración de funciones, no. El cálculo de primitivas es un campo abierto y nadie en el mundo, nadie, sabe integrar cualquier función, al menos de forma analítica (obviamente existen otros métodos para aproximar una integral numéricamente). Por lo tanto, partimos de que es un campo difícil, y alcanzar maestría es un camino más largo que el cálculo de derivadas. El primer requisito para poder integrar medianamente bien, es saber derivar perfecto. Por lo tanto, si aun estas dubitativo con algunas derivadas vuelve atrás y repásate el cálculo de derivadas aquí. Si dominas la derivada entonces vamos a empezar un camino para aprender a derivar. Vamos a dividirlo en tres niveles que son los que corresponderían más o menos al nivel que tiene que alcanzar un alumno de Matemáticas aplicadas a las ccss (nivel básico), Matemáticas II (nivel intermedio) y Universitario (nivel avanzado). 

Antes de listaros los enlaces a los vídeos os propongo que os miréis este otro vídeo donde os hablo de forma introductoria del concepto de integral para intentar hacernos una idea de qué es realmente, de dónde surge la necesidad y para qué sirve. Quizá os sorprendáis cuando os entréis de qué tipo de problema motiva la necesidad de esta herramienta y cuando os cuente que la integral va mucho más allá que la simplista definición de "operación inversa de la derivada". La integral también tiene un capítulo (o dos, según se mire) en la serie "Matemáticas en 1 minuto".

Ahora si, los niveles:

NIVEL BÁSICO

1. Introducción y funciones polinómicas.
2. Integrales inmediatas: función potencial y función logarítmica.
3. Transformación de funciones sencillas.

NIVEL INTERMEDIO

1. Integrales inmediatas: funciones trigonométricas.
2. Transformación de funciones nivel intermedio.
3. Métodos de integración: cambio de variable.
4. Métodos de integración: Integración por partes.
5. Integración de funciones racionales: introducción y raíces complejas.
6. Integración de funciones racionales: raíces reales (separación en fracciones simples).
7. Integración de funciones racionales: raíces reales y complejas.

NIVEL AVANZADO

1. Integración de funciones irracionales (aún no disponible)
2. Integración de funciones trascendentes (aún no disponible)
3. Método de Hermite (aún no disponible)

OTROS MÉTODOS DE INTEGRACIÓN

1. Integración utilizando desarrollo en serie.
2. Integración utilizando la definición de Riemann.

OTROS VÍDEOS PARA PRACTICAR

1. Tres integrales exponenciales: cambio de variable
2. Tres integrales racionales.

Y una vez que se comprende el método se trata de practicar hasta que nos sangren los dedos. Y para ello tienes más de 50 exámenes de selectividad y en todos ellos aparece algún ejercicio de integrales o de aplicación de las integrales. Aquí tienes una lista con todos los exámenes disponibles en el canal para que encuentres fácilmente el que estás buscando. En los directos también me han hecho algunas preguntas sobre esto. Puedes echar un ojo en esta otra entrada.

La aplicación más famosa de las integrales (no puedo decir las más importante, porque hay otras aplicaciones realmente importantes) es el cálculo de áreas y volúmenes. A nivel de bachillerato tenemos dos casos, el cálculo del área delimitada por una curva y el eje OX y el cálculo del área delimitada por dos curvas. Este proceso se puede hacer de forma muy sencilla y admite la siguiente metodología (mejor que mecanización, no?). Puedes verlo en estos dos vídeos: función+eje 0X, dos funciones. A nivel universitario tenéis otros cuantos ejemplos ilustrativos resueltos y que además son ejercicios de exámenes: cálculo de áreas; cálculo de un volumen (integrales dobles); volumen de un sólido de revolución, cálculo del área delimitada por dos curvas (no funciones).

Por ahora nos queda una guía muy básica, aunque muy completa para niveles pre-universitarios. Poco a poco intentaré ir completando los temas (incluyendo los métodos numéricos). Ya sabéis que siempre estoy abierto a vuestras propuestas, y si echais algo de menos, con toda confianza me lo hacéis llegar y lo vamos completando entre todos. 

Y ahora, como siempre te digo, si echas algo en falta, te gustaría comentar algún tema, puntualizar algo o hacer cualquier observación, te animo a que escribas en los comentarios. Todas las propuestas son bienvenidas.

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