¿Jerarquía de las operaciones?.¿Qué es una operación? ¿Qué propiedades puede tener? ¿Tiene algún fundamento matemático la jerarquía de las operaciones? ¿Qué está pasando en esas calculadoras?
¿Qué son las matemáticas? Pregunta bastante típica en algunos foros de discusión. En este vídeo hacemos un recorrido por algunas situaciones que se han vivido a través de la historia como ejemplo de qué es, o qué debería ser, la matemática.
¿Cómo me convierto en matemáticas?
¿Para qué sirven las matemáticas?
Capítulo 0: Presentación de la serie
CHULETA 7: PROBABILIDAD. ESPECIAL SELECTIVIDAD. Notación y operaciones. Formulas básicas: Probabilidad de la unión y probabilidad condicionada. Leyes de DeMorgan. Teorema de la probabilidad total. Teorema de Bayes. Tablas de contingencia. Diagrama de árbol. Formulario en pdf.
Subespacios vectoriales: base, dimensión, ecuaciones paramétrica, implícita, subespacio suma y subespacio intersección, suma directa, fórmula de Grassmann.
Aplicaciones lineales: expresión analítica y matricial, ecuaciones del núcleo y de la imagen, dimensión del núcleo y de la imagen, base del núcleo y de la imagen…
Espacios vectoriales, aplicaciones lineales y formas bilineales: demostración utilizando la definición…
Matriz de cambio de base: un vector expresado en distintas bases, cálculo de la matriz de cambio de base de un espacio vectorial...
Matriz ortogonal: método de ortonormalización de Gram-Schmitd
Matriz ortogonal: construcción de una matriz ortogonal/ortonormal
Determinante.
Formas bilineales & formas cuadráticas
Formas bilineales: definición, signatura, descomposiciones de Sylvester y Witt...
Formas cuadráticas:definición, forma matricial, clasificación
Método de Gauss... aplicado directamente sobre el sistema (sin hacer uso de notación matricial).
Cómo discutir sistemas de ecuaciones lineales. Método de Gauss y teorema de Rouche-Frobenius.
MATRICES
Matrices: qué son, de dónde surge, para qué sirve
Método de Gauss... sobre matrices (ejemplo con una matriz asociada a un sistema de ecuaciones lineales)
Matriz inversa: método de Gauss-Jordan.
Matriz inversa: utilizando adjuntos.
Cómo estudiar el rango de una matriz: método de Gauss y utilizando determinantes.
Como enfrentarnos a una ecuación matricial.
DETERMINANTES
Cálculo del determinante para matrices de orden $\geq4$. Desarrollo por adjuntos.
Cálculo del determinante para matrices de orden $\geq4$. Reducción de orden utilizando transformaciones elementales de Gauss. Advertencias sobre este método.
PROGRAMACIÓN LINEAL
Cómo enfrentarnos a un problema de programación lineal:
parte I- Básicos y ejemplo estándar.
parte II- Rarezas y ejemplo no común.
parte III- Soluciones absurdas. Interpretando el resultado.
ACLARACIONES/TRUCOS
Inversa de una matriz de orden 2. Directamente.
Determinante de una matriz de orden 3. sin usar Sarrus.
EJERCICIOS RESUELTOS
Sistemas
Selectividad (Aragón Septiembre 2017, matemáticas II). Discutir un sistema con parámetros. Un parámetro. Discusión por el teorema de Rouche-Frobenius. Rangos por determinantes.
Selectividad (Navarra Septiembre 2017, CCSS). Discutir un sistema con parámetros. Un parámetro. Discusión por el teorema de Rouche-Frobenius. Rangos por Gauss.
Selectividad (Madrid Septiembre 2017, CCSS). Discutir un sistema con parámetros. Un parámetro. Discusión por el criterio de Gauss..
Matrices
Selectividad (Madrid Junio 2016, matemáticas II).Ecuaciones matriciales.
Selectividad (Andalucía Junio 2016, matemáticas II). Ecuación matricial. Potencia n-ésima de una matriz.
Selectividad (Madrid Septiembre 2017, CCSS). Ecuación matricial. Potencia n-ésima de una matriz.
Selectividad (Aragón Septiembre 2017, CCSS). Matriz inversa. Ecuación matricial.
Estudiar el rango de una matriz dependiendo de los valores de un parámetro. Utilizando transformaciones elementales de Gauss.
Estudiar el rangode una matriz dependiendo de los valores de dos parámetros. Utilizando determinantes.
Determinantes
Propiedades de los determinantes. Demostrar que un determinante vale 0 sin desarrollar.
Determinante de una matriz de orden 10. Ilustración de cómo se deben aplicar las transformaciones elementales de Gauss a la hora de reducir el orden de una matriz.
Programación lineal
Selectividad (Castilla y León Junio 2017). Minimizar costes.
Vectores en el plano: Guía básica. Definición e interpretación del concepto "vector". Dependencia e independencia lineal entre vectores. Concepto de base de un espacio vectorial. Perpendicularidad y paralelismo entre vectores.
Ecuaciones de la recta en el plano: Método de aprendizaje. Ecuaciones vectorial, paramétrica, continua, punto-pendiente, explícita e implicita/general/cartesiana. Cómo construir cada ecuación. Cómo obtener la información relevante que nos ofrece cada tipo de ecuación. Cómo movernos entre ecuaciones.
Posiciones relativas entre rectas en el plano. ASAP.
Distancias y ángulos en el plano. ASAP.
Cónicas. ASAP.
GEOMETRÍA ESPACIAL
Vectores en el espacio: Guía básica.Definición e interpretación del concepto "vector". Dependencia e independencia lineal entre vectores. Concepto de base de un espacio vectorial. Perpendicularidad y paralelismo entre vectores. Operaciones básicas: suma de vectores y producto por un escalar. Productos escalar, vectorial y mixto: definición e interpretación (áreas y volúmenes).
Ecuaciones de la recta y del plano en el espacio: Método de aprendizaje. Ecuaciones de la recta: vectorial, paramétrica, continua, e implicita/general/cartesiana. Ecuaciones del plano: vectorial, paramétrica y general. Cómo construir cada ecuación. Cómo obtener la información relevante que nos ofrece cada tipo de ecuación. Cómo movernos entre ecuaciones.
Posiciones relativas entre variedades afines (rectas y planos): Método razonado. Posiciones relativas: entre dos planos, entre tres planos, entre recta y plano, entre dos rectas (2 métodos). Razonamiento a partir de las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales.
Proyecciones y simetrías en el espacio. Proyección de: un punto sobre una recta, un punto sobre un plano, una recta sobre un plano. Puntos simétricos respecto a la recta y al plano. Recta simétrica respecto a un plano.
Ángulos y distancias en el espacio. Ángulo que forman: dos planos, una recta y un plano, dos rectas. Fórmulas e interpretación. Distancia entre: dos puntos, un punto y una recta, un punto y un plano, dos planos, una recta y un plano, dos rectas paralelas, dos rectas que se cruzan. Fórmulas y procesos razonados.
Cómo dibujar en 3D. Consejos para dibujar rectas y planos en el espacio sin necesidad de tener "visión espacial"
EJERCICIOS RESUELTOS
Ejemplo posiciones relativas: Estudio de la posición relativa entre tres planos y entre una recta y un plano.
Ejemplo posiciones relativas: Estudio de la posición relativa entre dos rectas.
Selectividad (Madrid Junio 2018): Dados los puntos A,B,C,D se pide: a) construir el plano que contiene a A,B,C y calcular la distancia del plano a D; b) El volumen del tetraedro A,B,C,D; c) El área del triángulo A,B,C.
El objetivo es sencillo, condensar en 1 minuto y de forma que pueda resultar atractiva, temas de matemáticas. ¿Y para qué sirve esto? ¿Se puede enseñar matemáticas en 1 minuto? Claro que no. Al igual que no se come de una semilla. Pero cuando la semilla germina dará lugar a árboles gigantes, y éstos, a deliciosos frutos. Cada uno de estos minutos condesa algún concepto que podría desarrollarse al detalle durante horas (o días, o años, depende del tema). Por eso...
...si eres profesor, puede que los encuentres útiles como germen inicial para introducir algún tema en clase o, para todo lo contrario, para concluir, a modo de resumen, una vez que el tema ha sido visto. La variedad de temas es amplia y también los podrías utilizar de forma más recreativa para presentar a los estudiantes temas curiosos que quedan fuera de su nivel, pero que quizá les sirva de motivación. ...si eres estudiante y te llama la atención algún tema de estos vídeos, entonces no te quedes ahí, busca información, echa horas en google, seguro que hay montones de personas que han publicado sobre el tema, abarcando otros puntos de vista y otros enfoques (desde los puntos de vista más divulgativos a los puntos de vista más rigurosos o formales). Si te llama la atención, deja que esta semilla germine.
Y nada, aquí la lista con todos los capítulos, espero que paséis unos buenos 20 minutos ;) Capítulo 01: La derivada de Newton: En 1 minuto te cuento la idea que ayudó a Newton a definir la noción de derivada a partir de un problema que surge en la antigua Grecia: la necesidad de generalizar el cálculo de la tangente a cualquier curva dada.
Capítulo 02: El método de exhaución de Eudoxo: ¿Sabías que el calculo integral nace de la genial idea que tuvo este griego para aproximar el área de cualquier figura geométrica curva?
Capítulo 03: El teorema de Bolzano: En 1 minuto (y 1/2) tratamos el teorema de Bolzano, uno de los más importantes del cálculo para funciones continuas, ya que es el teorema que nos va a permitir aproximar las raíces de cualquier función.
Capítulo 04: La integral de Riemann: En 1 minuto nos introducimos en la idea que llevó a Riemann a formalizar la noción de integral gracias a, ¿te acuerdas de Eudoxo y su método de agotamiento?.
Capítulo 05: El teorema de RolleEn 1 minuto (y 1/2) tratamos el teorema de Rolle, uno de los principales teoremas del cálculo para funciones continuas y derivables, analizando las hipótesis, tesis y el contrarecíproco más útil del teorema.
Capítulo 06: El límite de Cauchy: En 1 minuto nos acercamos a la idea intuitiva que sirvió a Cauchy para introducir la noción de límite y a cómo Weierstrass consiguió formalizar el concepto.
Capítulo 07: La regla de L'hopital: En 1 minuto nos acercamos a lo que se conoce como la regla de L'hopital (muy útil para resolver indeterminaciones del tipo infinito entre infinito y cero entre cero) y a una de sus demostraciones más intuitivas.
Capítulo 08: Geometría fractal: un área de las matemáticas realmente joven y que rompe con los cánones y las inercias establecidas por las geometrías clásicas, en particular, por la geometría euclideana.
Capítulo 09: La circunferencia goniométrica:Hablamos durante todo 1 minuto sobre la circunferencia trigonométrica, una forma sencilla y curiosa de aproximarnos a la definición de las razones trigonométricas y las relaciones que estas guardan entre si. Este capítulo lleva asociado un juego para hacerte reflexionar. A lo largo de la argumentación desarrollada se ha incluido una falacia ("hoy en.... matemáticas en 1 minuto... FALACIAS DE LA LÓGICA"). Estáis todos invitados a buscar y cuestionaros. Podéis exponer vuestras conclusiones en los comentarios del vídeo.
Capítulo 10: El infinito de Cantor: En un 1 minuto, nos aproximamos al concepto de infinito, tal y como lo estudió Cantor, quien se dio cuenta, por encima de las restricciones morales de su tiempo en este sentido, de que hay unos infinitos que son más grandes que otros infinitos.
Capítulo 11: La dimensión de Hausdorff: En 1 minuto introducimos la genial idea que tuvo Hausdorff para definir lo que a día de hoy se conoce como dimensión fractal.
Capítulo 12: La proporción áurea: en sólo 1 minuto, la proporción más famosa del mundo, la proporción áurea, y sin nombrar a Fibonacci :)
Capítulo 13: La campana de Gauss: ¿De dónde surge la necesidad y quién modela esto de la campana de Gauss que tan útil nos es a día de hoy en probabilidad?
Capítulo 14: La espiral logarítmica:Al generarse por medio de una progresión geométrica hace que esté presente en el proceso de crecimiento/expansión de multitud de fenómenos naturales. Por eso, todos los días ves cientos de espirales logarítmicas.
Capítulo 15: El Teorema Central del Límite: Os cuento cosas de este teorema tan genial, que nos va a garantizar que, la media de una muestra aleatoria simple de cualquier variable aleatoria converge a una distribución normal.
Capítulo 16: El método de Montecarlo: más que un método es una idea que nos permite aproximar procesos deterministas a través de procesos estocásticos, es decir, utilizamos el azar para medir.
Capítulo 17: El sistema de numeración decimal: La introducción en Europa del sistema de numeración decimal ha sido una de las causas que ha permitido un avance en el desarrollo social, básicamente, debido a la gran simplificación en la manera de realizar cálculos básicos que nos permite este sistema indio-arábigo introducido por Fibonacci.
Capítulo 18: El teorema de Tales. Este será, quizá, el segundo teorema más famoso del mundo. Tiene ya más de 2500 años. A todos nos lo enseñan en la escuela. Sirve para dividir un segmento en partes iguales (aunque no es eso lo que te cuento en este minuto). ¿Lo demostramos?
Capítulo 19: El juego del caos: Un juego de dados, completamente azaroso, ¿a dónde nos conduce?.
Capítulo 20: Series de Fourier:Las series de Fourier transforman el mundo real, palpable, medible, a un mundo espectral, donde en el dominio están las frecuencias, y nos muestra cualidades y características de una señal que no podríamos ver nunca a simple vista. ¿Que para qué sirve esto? Já, ni te lo imaginas.
