Guía básica de geometría espacial (2º Bachillerato)

La geometría espacial es otra de las cosas que en los institutos se enseña de aquella manera (siempre hablando en forma general, claro que hay honrosas excepciones). Se suele pasar bastante tiempo en el tema de vectores, dando vueltas innecesarias, y luego se presentan las ecuaciones de la recta y del plano como un formulario y entonces, de sopetón, a resolver ejercicios de geometría espacial. Con la mejor intención, sin duda. Quizá para mostrarle al alumno un abanico de ejercicios lo más amplio posible e intentar dejar el mínimo margen posible a la sorpresa. Pero esto es contraproductivo. Mi consejo para la preparación de este tema es seguir el siguiente orden:

Primero, es obvio que necesitamos saber qué es un vector, qué interpretación tiene, qué lo caracteriza y cuales son sus cualidades más importantes. Todo lo que necesitas saber te lo cuento en este vídeo. Míralo con detenimiento, haz hincapié en los puntos clave que te cuento. En apenas 20 minutos vas a tener las claves de todos los puntos importantes que tenemos que dominar para tener éxito en el tema de geometría espacial. ¿qué es un vector? ¿qué es una base? ¿qué significa dependencia o independencia lineal? Operaciones básicas (suma, resta, multiplicación y división) y producto entre vectores (escalar, vectorial y mixto), su interpretación y sus aplicaciones. El vídeo: Vectores en el espacio. 

Una vez conocemos la notación y las herramientas básicas llegamos al punto clave, a la base de este tema. Y como base, vamos a necesitar que la construcción de este conocimiento sea lo más sólido posible. Me refiero al estudio de las ecuaciones de la recta y del plano. Debemos dedicar un buen tiempo a detenernos aquí. Tenemos que dominar estas ecuaciones. Necesitamos conocerlas en profundidad. De nada va a servir avanzar si no somos capaces de saber distinguir entre una ecuación que se refiere a una recta o una ecuación que se refiere a un plano, si no sabemos qué caracteriza cada una, si dada una ecuación no sabemos seleccionar puntos y vectores de esta, si no sabemos escribir cada ecuación a partir de ciertos datos dados. Por lo tanto, todo nuestro éxito en este tema va a depender de este punto. Vamos a interiorizar estas ecuaciones. Y esto se hace siempre a base de práctica. No temo al hombre que ha practicado mil patadas diferentes, temo al hombre que ha practicado una sola patada mil veces. Pues aquí igual. Una patada, mil veces. Primero practicaremos de forma mecánica. Cuando sepamos hacer, entonces reflexionaremos sobre para qué sirve lo que estamos haciendo. Haz lo que te cuento en el siguiente vídeo: Ecuaciones de la recta y del plano.

Espero que no tengas la tentación de saltar de nivel sin haber dominado las ecuaciones de la recta y del plano. Si aun te queda cualquier mínima duda a la hora de escribir una ecuación concreta o al detectar puntos y vectores de una ecuación dada, vuelve a tras y sigue estudiando. Saltar de nivel sin estar preparado no te va a servir nada más que para perder el tiempo. ¿Ya estas preparado? Ahora con un mínimo esquema de trabajo y un par de truquillos tendremos claro cómo se estudian las posiciones relativas de variedades afines (rectas y  planos). Te lo cuento en el siguiente vídeo: Posiciones relativas.

Y aquí tienes un par de ejemplos de cómo estudiar la posición relativa entre tres planos y entre recta y plano  dependiendo de los valores de un parámetro. Y en este otro vídeo un ejemplo ilustrativo de los dos métodos disponibles para el estudio de la posición relativa entre dos rectas (que dependen de los valores de un parámetro). 

Y ya sólo nos queda completar el conocimiento de este tema con un par te cosas que no nos van a llevar mucho tiempo (confío en que me has hecho caso y has estudiado bien todo lo anterior antes de llegar aquí). Mírate los dos vídeos que siguen: Proyecciones y simetrías.+Distancias y ángulos.

Ya estas preparado para enfrentarte a la geometría espacial. Tienes las herramientas, PERO, la geometría espacial es más que las herramientas. Te vas a tener que enfrentar a problemas que, a veces, son imaginativos, y otras, se salen de un patrón. Vas a tener que educar la mente en la deducción y adaptarla al pensamiento geométrico. Para ello hay que practicar en la resolución de problemas. Si has seguido mis consejos y has estudiado de forma profunda todo lo que te conté arriba, entonces te vas a sorprender resolviendo problemas relativamente complejos en muy poco tiempo. Si, por el contrario, has sucumbido a la tentación de un estudio superficial y prefieres aprender las herramientas enfrentándote directamente a los problemas, te digo amigo, que eres carne de frustración, pues en el momento te modifiquen en lo más mínimo el enunciado de un problema te vas a ver perdido y sin recursos. Y entonces todos tendremos que escuchar, ¡Que cabrón, menudo ejercicio nos ha puesto!

En el canal vais a poder encontrar un montón de ejercicios resueltos para curtiros en la práctica. Por un lado tenéis los ejercicios que han ido apareciendo en las pruebas de selectividad de Matemáticas II. Suele ser la cuestión 2 ó la cuestión 3 dependiendo de la comunidad autónoma, y, todos los años aparece una pregunta de este tema, tanto en la opción A como en la opción B. Esto implica que en el canal vais a poder encontrar más de 50 ejercicios resueltos y que estos ejercicios van a medir justo el nivel que se os exige en segundo de Bachillerato (pre-universitario). Tenéis una lista con todos los exámenes PAU/EBAU disponibles en esta otra entrada. Por otro lado, todas las semanas hago un directo en el que contesto las preguntas que tengáis a bien hacer. Esto también hace que en estos vídeos tengáis disponibles algunos ejercicios más resueltos, los que ha ido planteando la audiencia. Los directos ya emitidos, y un resumen de sobre de qué se habló, lo podéis encontrar en este enlace.

Y para terminar (por ahora) un pequeño truco sobre cómo podemos desenvolvernos con soltura en el dibujo de variedades afines en el plano. Un dibujo siempre nos va a resultar de ayuda cuando estamos pensando el planteamiento de un problema geométrico: Cómo dibujar variedades en el espacio.

Y ahora, como siempre te digo, si echas algo en falta, te gustaría comentar algún tema, puntualizar algo o hacer cualquier observación, te animo a que escribas en los comentarios. Todas las propuestas son bienvenidas.