Lo curioso de ordenar por fechas: sobre Cantor, el infinito y la moral.

Sucede que la historia de la ciencia se llena de matices cuando ordenamos los hechos secuencialmente. La mayoría de nosotros, por lo menos es lo que a mí me pasa, tenemos un montón de sucesos en nuestra cabeza, así como desordenados, hechos un ovillo, y no somos realmente conscientes de qué tal cosa sucedió antes, o qué tal cosa sucedió después. Y no me refiero al huevo o a la gallina, me refiero a cosas como ¿qué necesidad surge primero? ¿La necesidad de derivar o la necesidad de integrar? Según lo que estudiamos, nos formamos la idea natural de que primero es la derivada, y luego, ya si eso, vendrá la integral. Luego nos resulta sorprendente la idea de que la necesidad de una integral (¿Qué es la integral, de dónde surge y para qué sirve?) surgiera (posiblemente) mucho antes que la idea de la necesidad de una derivada (¿Qué es la derivada, de dónde surge y para qué sirve?). 

Pero hay un caso que es, si cabe, más llamativo que el anterior. Y es el de cuando los hechos cohabitan en el tiempo. Aquí se me ocurre pensar que en el momento en el que Galileo estaba en Roma abjurando por propia voluntad de sus locas ideas sobre traslación ante el papa Urbano VIII (soy juzgado por este Santo Oficio vehementemente sospechoso de herejía, es decir, de haber mantenido y creído que el Sol es el centro del mundo e inmóvil, y que la Tierra no es el centro y se mueve), estaba Kepler por allí por Alemania formulando sus leyes (Los planetas giran alrededor de Sol siguiendo una trayectoria elíptica. El Sol se sitúa en uno de los focos de la elipse). Que Galileo sea acusado de herejía por defender las mismas ideas que se defienden en las Leyes de Kepler, así al montón, no nos transmiten más que la evolución lógica del pensamiento a través de las evidencias. Sin embargo, la sorpresa salta (y como decía al principio, todo se llena de matices) cuando miramos fechas. Resulta que Galileo es acusado de herejía alrededor de 1616 y obligado a abjurar en 1633. Kepler formula su primera ley en 1606.

Pues bien, este tipo de situaciones no suceden únicamente en la historia de la ciencia. También hay casos muy curiosos en la historia de la matemática. Y este es un blog sobre matemáticas. Por eso voy a contaros el caso de Cantor, un señor que ha pasado a la historia por haber formalizado la noción de infinito. Hasta que Cantor llegó, se asumía que había cantidades infinitamente pequeñas o infinitamente grandes. Era una idea que Cauchy limpió y aseó en su intento por esclarecer el concepto de límite. Cuando una sucesión crece indefinidamente se decía que tiende a infinito. Pero no se había pronfundizado más en este tema. ¿Por qué? Dadme un poco de tiempo.

¿Cuántos números hay? Empezamos a contar: uno, dos, tres,... y la secuencia crece indefinidamente, por lo tanto decimos que se va a infinito. Entonces, pues infinitos. Pero Cantor rasca un poco más en esta cuestión. Sabe que hay distintos conjuntos de números. Los Naturales (que son estos que decíamos que se utilizan para contar y que hemos dicho que hay infinitos); los Enteros (que son los Naturales en positivo y en negativo y ya incluiríamos el cero, por lo que hay 2 veces infinito más uno, pero el doble de infinito es infinito, y sumar uno a donde ya hay infinito pues no aporta gran cosa); los Racionales (que son los que se escriben en forma de fracción, y burdamente hablando podríamos decir que hay alrededor de infinito*infinito o infinito^2, ya que elegimos un número de entre los Enteros para el numerador y otro para el denominador -pero infinitas veces el infinito es infinito, total, si el infinito es infinito...-); y los Reales (que son todos los números, y que ni siquiera podemos imaginarnos cuántos hay con estas cábalas informales que nos hemos planteado con los anteriores conjuntos). 

Cantor entonces se plantea, ¿todos estos conjuntos tienen la misma cantidad de números? Él era un experto en teoría de conjuntos (de hecho es uno de los "padres" de la teoría de conjuntos, una de las bases de la matemática moderna), por lo que no le fue muy difícil demostrar que existe una función biyectiva (una función biyectiva es simplemente un "puente" entre dos conjuntos, de forma que te lleva y te trae de un conjunto a otro conjunto de forma unívoca) entre los Naturales y los Enteros, y también entre los Naturales y los Racionales. Cuando fue a buscar la biyección entre los Naturales y los Reales se conoce que pinchó en hueso. Entonces le dio por pensar que eso de que "total, si el infinito es infinito..." quizá no sea del todo cierto, y que por extraño que parezca puede que haya unos infinitos que sean más grandes que otros infinitos. Es aquí donde su genio brilló demostrando, por medio de lo que se conoce como "argumento de la diagonal de Cantor", que efectivamente no existe tal aplicación biyectiva entre los Naturales y los Reales, y que por tanto, por muy infinito que fuera el conjunto de los números Naturales, el de los números Reales tenía más números, muchos más, incontablemente más! 

Y ahora podríamos pensar que ante tal descubrimiento Cantor debió de estallar en júbilo y alegría. Un avance tan significativo en la matemática lo haría pasar a la historia, ¿no? Pues no. La realidad es bien distinta. Cantor vio un problema moral en su descubrimiento, atentaba, de nuevo, contra la Santa Madre Iglesia, y pensó que él mismo estaba acometiendo una nueva herejía unos 250 años después del juicio contra Galileo. Pero no preocuparos. Para eso están los amigos, y Cantor fue contemporáneo de grandísimos matemáticos (doctorando de Weierstrass y Kummer, por ejemplo)  que seguro que decidieron ayudarle ante tal evidencia. Ah, ¿que no? ¿que fue más bien lo contrario? (no se si os suena Kronecker, pero le hizo la vida imposible por blasfemo). Finalmente, Cantor entró en profunda depresión, vivió el resto de su vida con más pena que gloria, intentando formalizar una nueva noción, la de “infinito absoluto”. ¿Y eso? Dame un poco de tiempo.

El punto de vista que nos da vivir en pleno siglo XXI, en una sociedad laica (ejem ejem), no nos permite entender en qué sentido, un descubrimiento tan genial podría ser considerado herejía o blasfemia hace poco más de 100 años. Comprender esto nos va a permitir evaluar la verdadera magnitud y el calado del descubrimiento de Cantor. Para ello tenemos que retroceder de nuevo a los tiempos de Galileo.

A principios del XVII nace una corriente filosófica que con el tiempo se ha venido en llamar Racionalismo. Es esta la corriente filosófica más matemática de entre todas las corrientes filosóficas, por lo que no es de extrañar que entre sus tres representantes más ilustres haya dos que fueron matemáticos de renombre. La terna en cuestión está formada por: Descartes, que te sonará por aquello del sistema cartesiano, y al cual le debemos una contribución mucho más importante a la matemática: la formalización de "el método" (El discurso del método, Reglas para la dirección de la mente); Leibnitz -este es uno de los más grandes- le debemos el descubrimiento del cálculo diferencial e integral (dicen que junto con Newton); y Spinoza (este es el no matemático). Sobre los pensamientos de estos tres señores se construye, como hemos dicho, la filosofía Racionalista. Esta corriente defiende la duda como el único camino que nos permite conocer la verdad. Para ello se basa en la deducción lógica y razonada de cualquier cuestión observable en nuestro entorno. De hecho, lo que Descartes pretendía, era aplicar métodos geometrícos de demostración (al estilo de Euclides en Los elementos) a cualquier cuestión que fuera filosóficamente planteable. 

Ya sabemos que en esa época (no como ahora) la Iglesia tenía una influencia bastante reseñable en la sociedad. En aquella época, la educación estaba reservada a las clases nobles, las cuales recibían, junto con las lecciones sobre geometría o historia, una fuerte dosis de adiestramiento religioso. Por lo tanto, todas estas personalidades, célebres por haber conseguido contribuir al conocimiento (ya sea en ciencias o en letras), resulta que tenían fuertes convicciones religiosas. Por eso no es de extrañar, que entre los oficios de muchos ellos se encuentre el de Teólogo. Pues bien, Descartes, Leibnitz y Spinoza -por mucho que su filosofía se basara en la deducción euclidiana de cualquier cuestión-, tampoco se libran de estas cadenas. Los tres atendieron a la cuestión moral de la existencia de Dios desde el punto de vista de su filosofía, desde el Racionalismo. Descartes dedica la cuarta parte de su Discurso del Método a exponer las pruebas de la existencia de Dios y del alma humana y Spinoza nos legó su Ética, un tratado sobre moral expuesto en forma de proposición-demostración. Pero quien aquí va a poner luz sobre el tema que estamos planteando es Leibnitz. Monadología es una obra que resume su filosofía y que está expuesta en forma de párrafos lógicos secuenciados de forma que unos se van deduciendo de otros. Pues bien, en el párrafo 53 nos dice Ahora bien, como hay una infinidad de universos posibles en las ideas de Dios y como no puede existir sino sólo uno de ellos, es necesario que exista una razón necesaria de la elección de Dios, la cual le determine a uno antes que a otro. En este párrafo nos está diciendo que la coexistencia de infinitos es contradictoria. Que sólo puede existir un infinito. Puesto que Dios es infinito, Dios existe. En el fondo se está ligando la idea de infinito con la idea de Dios. Ambos son conceptos que trascienden lo humano. La existencia de un único infinito es la prueba definitiva de la existencia de Dios.

Esta pseudo-demostración perdura a través de los años, se asienta dentro de la moral y se va transformando poco a poco (o no tan poco a poco) en firme convicción entre las personalidades ilustradas. ¿Entendemos ahora cómo se siente Cantor cuando un inocente juego se transforma en la demostración formal de que el infinito no es único? Contrarrecíproco: si hay distintos infinitos, entonces Dios no existe. ¿Sería esta la primera frase que pensó cuando su maldita diagonal le dio la razón y consiguió demostrar que en los Reales hay una cantidad incontablemente más grande de números que la simple infinita cantidad de número que hay en los Naturales?

Esta historia que te acabo de contar quizá te resulte absurda, quizá simplemente entretenida o sorprendente. Sin embargo, hay algo que podemos aprender de ella. La genialidad de Cantor no reside únicamente en su capacidad para resolver cuestiones tremendamente complicadas de forma elegante e imaginativa, sino en su capacidad para cuestionarse sus propias convicciones ante una evidencia. Precisamente eso es la matemática. No es simplemente el hacer cálculos complejísimos, sino más bien, la capacidad de dudar, de dudar de uno mismo, de razonar y de vencer el propio fanatismo o la propia convicción en favor del rigor y de la verdad. En esto Cantor fue un gran ejemplo. Quizá no venció, pero siempre luchó.

Como ya sabéis, a veces me gusta comprimir en 1 minuto estas historias. El infinito de Cantor fue el último capítulo de la primera temporada de Matemáticas en 1 minuto y puedes verlo aquí.

Este post forma parte del Carnaval de Matemáticas, que en esta septuagésima séptima edición, también denominada 9.1, está organizado por Rafael Martínez González a través de su blog El mundo de Rafalillo.

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