Empezamos por lo más elemental.
¿Qué es una operación? Pues casi cualquier libro de álgebra
moderna/álgebra abstracta que consultemos nos dirá que una operación en un
conjunto A, es una aplicación que relaciona elementos de AxA (producto
cartesiano) en A (presuponiendo que la operación es interna, que para nuestro
objetivo, es lo de menos). Es decir, la suma, por ejemplo, es una aplicación
que lleva el par (x, y) al elemento x+y. Si definimos la suma en el conjunto de
los naturales, N, pues (x, y) serán naturales, y si definimos la suma en el
conjunto de los reales, R, pues (x, y) serán números reales. Por ahora, todo
muy simple y muy sencillo. Además, en nuestra vida cotidiana operamos con
números reales (pagamos en el supermercado, nos medimos/pesamos en la farmacia,
viajamos cierta distancia en cierto tiempo...) por lo que nos vamos a permitir
la licencia de contextualizar todo lo que viene a continuación presuponiendo
que operamos siempre en el conjunto de los números reales. Nos olvidamos, de
esta manera, de las restricciones puntuales que pueda haber, en ciertos
aspectos de esta discusión, para conjuntos como los naturales, enteros (Z) o
racionales (Q). Aclarado esto, vamos a dar un paso más. Siguiente pregunta.
¿Qué propiedades puede tener una operación? Una operación puede ser asociativa y/o
conmutativa, y un elemento que operamos a través de una operación puede tener
elemento neutro y/o tener elemento simétrico. Recalquemos: puede tener no
implica que obligatoriamente tenga todas estas propiedades. Vamos
a intentar analizar, de forma lo más sencilla posible, qué significa cada una
de estas palabrejas. Tomaremos como ejemplo la operación suma. ¿Por qué? Pues
porque es la operación más básica, la más extendida, y con la que todos nos
podemos sentir más cómodos o familiarizados. La suma, además, es tan simpática
que cumple con todas estas propiedades. Por ejemplo, la suma es asociativa. Eso
significa que si quiero operar 2+3+4 puedo elegir operar (2+3)+4, de donde
tendría 5+4 que da como resultado 9. Idéntico resultado obtendría si decidiera
operar 2+(3+4) ya que de esta última expresión quedaría 2+7. Por lo tanto, la
propiedad de ser asociativa no significa más que: a la hora de hacer
operaciones múltiples puedo asociar los pares que me dé la gana y obtendré al
final el mismo resultado. La suma también es conmutativa. Esto quiere decir,
que de operar 2+3 obtengo el mismo resultado que de operar 3+2. Para la suma
hay un elemento neutro. El elemento neutro no es otra cosa que aquel número que
al operarlo a través de una operación no modifica la cantidad, es decir, 2+0
sigue siendo 2. Por esta razón, el 0 se dice que es el elemento neutro para la
suma. En la suma también hay un simétrico para cada elemento. Un elemento
simétrico es aquél que operado a cierta cantidad nos lleva al elemento neutro.
Para la suma sería el elemento que sumado al 2 (por ejemplo) me llevara al 0, y
esto es simplemente el -2, puesto que 2+(-2)=0.
Ya sabemos qué es una operación y qué
propiedades puede tener o no tener. Es en este momento cuando en matemáticas se
intentan buscar patrones o estructuras comunes. Y eso es lo que lleva a la
definición de grupo abeliano y de anillo. Un grupo abeliano es simplemente un
conjunto y una operación sobre dicho conjunto que cumpla las propiedades de ser
asociativa, conmutativa, con elemento neutro y para la cual todo elemento del
conjunto tiene un simétrico. Un grupo abeliano se denota comunmente por la
pareja (A, +) y a la operación se le suele llamar suma. Como acabamos de decir,
grupo abeliano es una definición que nos va a permitir encontrar patrones de
comportamiento. Así podemos decir que (Z,+) o (Q,+) son grupos abelianos y que
(N, +) no lo es (los elementos de N no tienen un simétrico en N). Si a un grupo
abeliano (A,+), le añadimos una segunda operación y además esta segunda
operación cumple las propiedades de ser asociativa, conmutativa y tener
elemento neutro, entonces la terna (A, +, ·) se dice que es un anillo
(conmutativo). Esta segunda operación se suele nombrar como producto y denotar
(como ya habréis intuido) por ·. Debemos notar aquí que no estamos exigiendo a
esta segunda operación la de que todo elemento tenga simétrico y es está la
mayor diferencia entre la operación suma y la operación producto. Pues bien,
llegados a este punto, podemos decir que, desde un punto de vista formal, en
nuestra vida cotidiana, todas las operaciones las realizamos en el anillo (R, +,
·), es decir, con números reales, con una operación suma que es asociativa,
conmutativa, existe el elemento neutro y todos los elementos tiene simétrico
(que llamaremos opuesto para la suma); y una operación producto que es
asociativa, conmutativa y con elemento neutro. Ahora os preguntareis de forma
natural, ¿dónde se ha dejado este tío la resta y la división? (pregunta que se
puede extender a otras operaciones más complejas, digamos las potencias, raíces
y compañía...)
Hemos definido para la suma un elemento
simétrico, que llamaremos opuesto para el caso de la suma, y que denotaremos
con el signo -. Ya hemos visto que el opuesto de 2 es -2. Podemos simplificar
notación escribiendo 2-2 en lugar de 2+(-2). Además, el opuesto del opuesto es
el elemento original, es decir, -(-2)=2, ya que -2+(-(-2))=2. Y ahí tenemos
nuestra tan deseada operación resta. La resta surge de forma natural como la
suma con el opuesto, es decir, la suma y la resta vienen a ser la misma
operación. Algo parecido pasa con la división. En el caso de la multiplicación
tendremos al 1 como elemento neutro, ya que multiplicar por 1 no altera la
cantidad (que recordemos era el requisito para ser elemento neutro). Además, al
simétrico de un elemento lo llamaremos inverso y lo denotaremos por 1/, ya que
2·(1/2) (por ejemplo) da como resultado el neutro del producto, el 1. No todos
los elementos de R tienen inverso, ya que el 0 no lo tiene, pero los demás sí.
De nuevo, para simplificar notación podemos escribir 2/2 en lugar de 2·(1/2), y
fijaros, de nuevo la magia, hemos deducido la operación división a partir de la
operación multiplicación. Quizá resulta natural preguntarnos ahora por qué no
se define entonces un anillo como la terna (R, -, /). Pues quizá la razón más
contundente para esto sea la de que estas operaciones, la resta y la división,
no son operaciones tan simpáticas como la suma y la resta. Por poner un ejemplo
sencillo de su tal antipatía, la resta no tiene la propiedad de ser conmutativa
(2-3 no es lo mismo que 3-2) y la división, pues tampoco (2/3 y 3/2 tienen poco
que ver). En matemáticas siempre se construye desde lo sencillo. La base es lo
simple. Un anillo no es más que una estructura algebraica para un conjunto y
unas operaciones y que reúne ciertas condiciones (condiciones que no se podrían
reunir tomando como referencia otras operaciones).
Una vez que hemos aprendido que hay otra
forma de mirar el mundo de las operaciones (la resta como la suma del opuesto y
la división como la multiplicación por el inverso) es natural que nos
preguntemos. ¿Y la jerarquía? ¿La
jerarquía de las operaciones tiene algún fundamento matemático?
En la escuela nos enseñan que la
jerarquía de las operaciones obliga primero a corchetes [] y
paréntesis (); segundo a multiplicaciones · y divisiones / (ya hemos dicho que
son la misma operación, por lo que es lógico que estén en el mismo orden de
jerarquía); y por último nos quedarían las sumas + y las restas - (también son
la misma operación). ¿Analizamos el
fundamento de este orden jerárquico? Corchetes y paréntesis son signos
naturales de agrupación, y si algo se ha decidido que esté agrupado es muy
natural que se opere primero. Una vez que se ha operado lo agrupado solo
quedarán productos y sumas y la jerarquía dice que debemos elegir operar
primero los productos. Pero no por un consenso universal que se haya pactado
para que alrededor del mundo todo ser humano que se encuentre en la disyuntiva
pueda llegar a la misma solución, sino por un fundamento matemático sólido que
es muy sencillo de ilustrar. Imaginemos que tenemos 2·3+1. El producto 2·3 se
interpreta como la suma de dos veces 3 o como la suma de 3 veces 2, según el
gusto y el punto de vista. Esto implica que 2·3+1 en realidad es la operación
3+3+1, y esto me imposibilita a realizar la cuenta 2·4, porque yo no tengo
suficientes unos en 3+3+1 para poder sumar dos 4. Es decir, que la
multiplicación va antes en jerarquía porque primero sumo todos los elementos
que son iguales y luego ya sumo los que son distintos. Es sencillo y tiene un
razonamiento matemático claro. ¿Qué pasa con las operaciones múltiples? La suma
y el producto (como ya hemos visto) son ambas asociativas y conmutativas, lo
cual me habilita para operar como yo quiera, como me dé la gana, en operaciones
múltiples del tipo 2+3+4 o 2·3·4. ¿Qué pasa entonces si tengo 2:3·4?
o más en concreto, ¿qué pasa si tengo, como aparecía en aquellas calculadoras,
6:2·3? Muy sencillo, no puedo operar. No puedo decidir por mí mismo qué
operación va primero, si 6:2 o si 2·3. Una frase escrita de esta manera es una
"operación mal construida" (parafraseando lo que sería en lenguaje de
lógica proposicional una “proposición mal fomada”). No hay ningún fundamento
matemático que nos imponga operar de un modo en concreto en esta situación.
Esta operación sólo podrá ser resuelta si se formaliza el contexto en el cual
está escrita. Por ejemplo, "en ausencia de paréntesis se opera de
izquierda a derecha". Pero podría perfectamente pasar también que yo me
despierte un día y me apetezca escribir un texto en el que imponga que "en ausencia de paréntesis se dará
prioridad al producto". Y tendría la misma validez. Porque estaría
contextualizada y aclarada esta situación dual. Cuando no hay contexto, cuando
no hay aclaración, no podemos decidir. Cualquier decisión será errónea. La
coletilla de "operaciones en el mismo nivel de jerarquía se operan de
izquierda a derecha" es falaz, no tiene ningún fundamento. Entonces, ¿por
qué opera la calculadora? ¿Por qué no el típico Math Error?
Primero hemos de aclarar que lo recién discutido sólo se puede
aplicar al lenguaje escrito, digamos una frase escrita en un folio o en una
pizarra o en un libro, o entre las líneas de este texto. Así, 6:2·3, así, sin
más, no tiene ningún sentido. Esta discusión no se debe extrapolar al mundo de
las calculadoras. Las calculadoras son objetos, seres inanimados, no piensan,
no tienen corazón, sólo te responden (en su idioma, eso sí) a lo que tú le
preguntes. Las calculadoras están programadas por un señor, un señor que, por
nuestro bien, intenta que comunicarnos con la calculadora sea lo más sencillo
posible. Por eso decide un protocolo que nos permita prescindir de paréntesis
en la medida en que sea posible. Ahora bien, este señor programador no nos
quiere engañar. No. Junto a la calculadora nos envía una hoja de instrucciones
de uso, donde nos dice de forma muy detallada cómo tenemos que preguntarle a la
calculadora cada tipo de cuestión. Así, en la página S-30 de la hoja de
instrucciones de la calculadora modelo fx82MS dice textualmente “las demás
operaciones se realizarán de izquierda a derecha”. Por otro lado, en la página
8 de las instrucciones relativas al modelo fx82SP dice textualmente “cuando se
omite un signo de multiplicación inmediatamente antes de un paréntesis abierto…
6:2(1+2)->6:(2(1+2))” Es por esto que resulta realmente grave la confusión.
No sólo es que no tiene ningún fundamento razonado (más allá de la búsqueda de
consenso, que por otro lado no es matemáticas sino política) la supuesta
obligatoriedad de operar de izquierda a derecha, sino que además olvidamos lo
que realmente es la clave en este dilema: comprender que la calculadora no se
equivoca, ser capaces de analizar su idioma y aprender a utilizar un objeto en
nuestro propio favor. Cómo tengo que preguntar a esta calculadora en concreto debería ser el enigma a resolver en este juego.
Sabéis que siempre me gusta hacer un
alegato final a partir del discurso que se ha desarrollado. En este caso mi
defensa es muy clara. Saber matemáticas no consiste en saberse la jerarquía de
las operaciones (esa jerarquía la puede aplicar cualquier máquina programada
para ello). Saber matemáticas es ser capaz de detectar algo extraño en dos
calculadoras que ante la misma expresión (que no la misma operación) arrojan
resultados distintos, es ser capaces de buscar qué hay detrás de esas
diferencias, es poder/querer preguntarse qué está pasando. Dudar de lo más
básico o de lo que en un principio nos parece más obvio (dime si conceptos como operación, suma o
producto no eran cosas “demasiado obvias como para dudar de ellas”) es lo que
nos va a permitir construir (o reconstruir) nuestro conocimiento de forma
sólida.
Este post forma parte del Carnaval de Matemáticas, que en esta septuagésima octava edición, también denominada 9.2, está organizado por @Pedrodanielpg a través de su blog A todo Gauss.
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